ajout tp

tpIntegrales/Makefile

+STYLES := ../css/tufte-css/tufte.css \
+	../css/pandoc.css \
+	../css/pandoc-solarized.css \
+	../css/tufte-extra.css
+
+OPTIONS = --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=./default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c ../css/styling.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
+
+MD=$(wildcard *.md)
+HTML=$(MD:%.md=%.html)
+PDF=$(MD:%.md=%.pdf)
+
+
+all: $(HTML) $(PDF)
+
+%.pdf: %.md Makefile
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+
+%.html: %.md Makefile
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $<
+
+clean:
+	rm -rf *.html *.pdf

tpIntegrales/tp_integrales_conv.md

+---
+# author:
+# - Orestis Malaspinas
+title: Travail pratique sur les intégrales
+autoSectionLabels: true
+autoEqnLabels: false
+eqnPrefix: 
+  - "éq."
+  - "éqs."
+chapters: false
+numberSections: false
+chaptersDepth: 1
+sectionsDepth: 3
+lang: fr
+documentclass: article
+papersize: A4
+cref: false
+pandoc-numbering:
+  - category: exercice
+urlcolor: blue
+---
+\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\vectwo}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
+\newcommand{\vecthree}[3]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}
+\newcommand{\mat}[1]{\underline{\underline{#1}}}
+\newcommand{\mattwo}[4]{\begin{pmatrix}
+								#1 & #2 \\
+								#3 & #4
+						\end{pmatrix}}
+
+# But du travail et rendu
+
+Le but de ce travail pratique est d'implanter les méthodes numériques de calcul d'intégrales que nous avons vues en cours,
+afin de les comprendre de façon un peu plus approfondie. Puis, il faudra utiliser ces méthodes pour calculer
+des convolutions afin de filtrer un signal.
+
+Aucun langage particulier n'est imposé. Il est recommandé d'utiliser octave ou python (en particulier les librairies numpy/scipy/matplotlib).
+
+Vous devrez rendre un petit rapport (3-4 pages) qui explique ce que vous avez fait et dans quel but. Il devra contenir
+une courte introduction théorique (rappelant les formules et le but du travail), une partie expliquant dans les grandes lignes 
+des algorithmes (pas de copier-coller du code, pas de captures d'écran non plus sous peine de sanctions terribles).
+La partie importante est celle contenant les résultats obtenus et leur discussion. Finalement, il faut inclure
+une conclusion résumant votre travail.
+
+Le travail doit être effectué par groupes de deux
+(n'oubliez pas de mentionner les deux noms sur le rapport et dans le code si le travail est fait à deux).
+Je dois pouvoir exécuter le code
+afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport (un petit *readme* pour les instructions est le bienvenu).
+Je dois aussi pouvoir définir ma propre fonction à intégrer de façon simple.
+Le rapport et le code doivent être déposés sur cyberlearn.
+
+La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
+
+# Intégration numérique
+
+## Méthodes d'intégration
+
+Dans un premier temps, le but est donc d'écrire un code où l'utilisateur spécifie une fonction $f(x)$ 
+(il écrira lui-même le code de la dite fonction) qu'on 
+suppose ``gentille'' (pas besoin de vérifier 
+si elle est bien définie partout par exemple), un intervalle $[a,b]$, et 
+un nombre de subdivisions $N$. Le code devra rendre la valeur numérique obtenue pour l'intégrale de la fonction 
+\begin{equation}
+I(a,b,N,f(x)) \cong \int_a^bf(x)\dd x
+\end{equation}
+pour deux méthodes vues en cours (méthode du rectangle à gauche, et méthode du trapèze)[^1].
+
+## Étude de l'erreur
+
+Lorsqu'on calcule numériquement une intégrale, on espère que la valeur de celle-ci *converge*, c'est-à-dire
+que plus $N$ est grand, plus la valeur de l'approximation est bonne. Pour vérifier que cela se passe avec nos
+méthodes d'intégration, vous devrez effectuer une étude de l'erreur de vos méthodes d'intégration numériques.
+Pour ce faire, nous choisissons une fonction $f(x)$
+dont la primitive est simple à calculer
+\begin{equation}
+f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
+\end{equation}
+et un intervalle sur lequel la fonction est bien définie. Choisissons ici $[a,b]$ avec $a=1$ et $b=5$. 
+On peut donc calculer l'intégrale exactement (analytiquement) et on notera ce résultat exact $I_{exact}(a,b,f(x))$.
+Puis, il faut calculer l'erreur commise par l'évaluation de la fonction $I(a,b,N,f(x))$ 
+pour $N=5, 10, 50, 100, 500, 1000$ pour chacune des méthodes que vous avez implémentées ci-dessus.
+L'erreur $E(N)$ se calcule de la façon suivante
+\begin{equation}
+ E(N)=\left|\frac{I_{exact}(a,b,f(x))-I(a,b,N,f(x))}{I_{exact}(a,b,f(x))}\right|
+\end{equation}
+Ces résultats devront être illustrés sous forme de graphique ($E$ en fonction de $N$ en échelle log-log).
+Que constatez-vous? Pouvez-vous mesurer le taux de décroissance de l'erreur?
+
+# Convolutions et filtrage
+
+Nous voulons à présent essayer de voir comment utiliser la convolution pour filtrer un signal simple.
+
+## La convolution continue
+
+Le signal que nous souhaitons filtrer est définit par la fonction $s(x)$
+\begin{equation}
+s(x)=\sin(2\pi\omega_1 x)+\sin(2\pi\omega_2 x).
+\end{equation}
+La fonction de filtrage que nous allons utiliser est définie par $f(x)$
+\begin{equation}
+f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
+                \frac{1}{\psi},&\mbox{ si }x\in[-\psi/2,\psi/2]\\
+                0,&\mbox{ sinon.}
+               \end{array}\right.
+\end{equation}
+Afin de se familiariser un peu avec ces deux fonctions, ne pas hésiter à les dessiner
+pour différentes valeur de $\omega_1$, $\omega_2$, et $\psi$.
+
+Puis, calculer analytiquement (à la main avec du papier et un crayon[^2]) la convolution $(f\ast s)(x)$.
+A partir du résultat de la convolution, déterminer la relation entre $\psi$ et $\omega_1$ (respectivement $\omega_2$)
+pour enlever complètement la composante $\omega_1$ (respectivement $\omega_2$) du signal $s(x)$.
+Utiliser ces relations pour illustrer le filtrage de $s(x)$ pour différentes valeurs de $\omega_1$ et $\omega_2$.
+
+## La convolution discrète
+
+Utiliser une des méthodes implémentées dans le chapitre précédent pour calculer numériquement
+le filtrage de $s(x)$ par la fonction $f(x)$ pour différentes valeurs de $\omega_1$, $\omega_2$ et $\psi$ (essayer par exemple de reproduire
+les résultats de la section précédente). Puis, répétez l'opération avec une autre fonction de filtrage
+$h(x)$ définie par
+\begin{equation}
+h(x)=\frac{1}{2\pi\psi}\exp(-x^2/(2\psi)).
+\end{equation}
+Voyez-vous des différences?
+
+
+
+
+[^1]: Vous retrouverez les formules dans le polycopié.
+[^2]: Exceptionnellement un stylo est également toléré.
\ No newline at end of file