Newer
Older
---
title: "Rapport Math"
author: [Troller Fabian, Rivier Nicolas]
date: "2022-04-25"
keywords: [Math, Intégrales]
lang: "fr"
titlepage: true,
titlepage-rule-height: 0
titlepage-background: "background5.pdf"
...
# Introduction Génerale
Pour ce TP de math, nous avons dû comprendre, calculer et implémentés des intégrales, nous devions comparer nos résultats de calcul à nos résultats d'implémentation pour calculer l'erreur entre les deux et la représenté sous la forme d'un graphique. Nous avons également dû comprendre la convolution de signaux à 1 dimension et de matrice à 2 dimensions pour pouvoir utiliser cette dernière pour débruiter des images en niveaux de gris en appliquant finalement une normalisation de l'image.
# Introduction théorique
## Intégration numérique
On définit une fonction **f(x)**,
\begin{equation}
f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
\end{equation}
Ou l'on veut calculer son intégration entre un intervalle de **[a,b]** a un certain **N** d'approximation.
\begin{equation}
I(a,b,N,f(x))=\sum_{i=0}^{N-1} f(a+i\delta x)\delta x,\quad \delta x=\frac{b-a}{N}.
\end{equation}
Afin de pouvoir faire une comparaison d'erreur entre la solution numérique et analytique nous allons prendre la meme intervalle **[a,b]** $=$ **[1,5]**
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
## Intégration analytique
Afin de valider notre intégration analytique et étudié l'erreur en fonction du **N** nombre d'intervalle.
Nous allons calculer la solution analytique de notre fonction.
\begin{equation}
f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
\end{equation}
\begin{equation}
I=\int_a^b f(x)*dx = -\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)}\mathrm{d}x.
\end{equation}
pour un intervalle [1,5].
\begin{equation}
\int_1^5 -\frac{2x-1}{e^{(-x^2+x-2)}}
\end{equation}
\begin{equation}
\int_1^5 -(2x-1) * \frac{1}{e^{(-x^2+x-2)}}
\end{equation}
\begin{equation}
\int_1^5 (-2x+1) * e^{(-x^2+x-2)^{-1}}
\end{equation}
\begin{equation}
\int_1^5 (-2x+1) * e^{(-x^2+x-2)}
\end{equation}
Déterminer la transformée en u
\begin{equation}
\int_1^5 du * e^u
\end{equation}
\begin{equation}
u = f(x) = -x^2+x-2
\end{equation}
\begin{equation}
du = F{(x)}'= -2x+1
\end{equation}
\begin{equation}
\int_1^5 e^u * du = \mid_1^5 e^{(-x^2+x-2)}
\end{equation}
selon
\begin{equation}
\mid_a^b f(x) = f(b) - f(a)
\end{equation}
on obtient
\begin{equation}
\mid_1^5 e^{(-x^2+x-2)} = e^{-5^2+5-2} - e^{-1^2+1-2}
\end{equation}
\begin{equation}
e^{-25+5-2} - e^{-1+1-2} = e^{-22} - e^{-2}
\end{equation}
finalement
\begin{equation}
I = \frac {1}{e^{22}} - \frac {1}{e^{2}} = -0,135335283
\end{equation}
## Validation
Afin de comparer nos résultats nous allons varier **N** de 5,10,50,100,500,1000 pour une même intervalle a b $=$ **[1,5]** et calculer l'erreur de notre résultat numérique par rapport à la solution analytique.
\begin{equation}
E(N)=\left|\frac{I-I(a,b,N,f(x))}{I}\right|
\end{equation}
{ width=50% }
{ width=50% }
Sur ces deux graphiques, on peut constater que l'erreur diminue plus l'itération est grande, sur le premier graphique, l'échelle est logarithmique. Pour le deuxième graphique, l'échelle est standard et permet de voir également cette diminution de l'erreur sous une autre forme.
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
# Convolutions et filtrage
Afin de se familiariser avec les convolutions, nous allons filtrer des signaux à 1 dimension.
Pour cela nous définition un signal composé de deux signaux avec chacun une fréquence différents w1 et w2.
\begin{equation}
s(x)=\sin(2\pi\omega_1 x)+\sin(2\pi\omega_2 x).
\end{equation}
et un certain filtre
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\psi},&\mbox{ si }x\in[-\psi/2,\psi/2]\\
0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.
\end{equation}
Le but est de déterminer l'intervalle du filtre
\begin{equation}
[-\psi/2,\psi/2]
\end{equation}
afin que la convolution de ces deux fonctions (f*s)(x) annule une des deux composantes sinusoïdales du signal.
## Solution analytique
### Délimitation
La convolution de deux fonctions est définie de la sorte:
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{\infty} S(x - t)*f(x)dt
\end{equation}
On va développer dans les intervalles que nous recherchons.
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{-\psi/2} S(x - t)*f(x)dt + \int_{-\psi/2 }^{\psi/2} S(x - t)*f(x)dt + \int_{\psi/2 }^{\infty} S(x - t)*f(x)dt
\end{equation}
En observant f(x) on constate que dans l'intervalle [-psi/2, psi/2] f(x) vaut 1/psi sinon 0 :
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\psi},&\mbox{ si }x\in[-\psi/2,\psi/2]\\
0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.
\end{equation}
donc notre domaine de convolution recherché s’étant a
\begin{equation}
\int_{-\psi/2 }^{\psi/2} S(x - t)*f(x)dt = \int_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\sin(2\pi\omega_1 (x - t))+\sin(2\pi\omega_2 (x - t))) * \frac{1}{\psi} dt
\end{equation}
### Transformée primaire
On cherche à déterminer la dérivée primaire du sinus et de sa composante par la factorisation de primitive en fonction de t :
\begin{equation}
f(g(t))' = f'(g(t))*g'(t)
\end{equation}
pour :
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt
\end{equation}
\begin{equation}
f(t) = sin(x) \quad étant \quad f'(t) = -cos(x)
\end{equation}
\begin{equation}
g(t) = 2\pi\omega(x-t) \quad étant \quad g'(t) = 2\pi\omega*0 - 2\pi\omega*1 = - 2\pi\omega
\end{equation}
Ce qui nous donne:
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt \neq -\cos(2\pi\omega(x-t) * -2\pi\omega
\end{equation}
Donc pour y remédier on multiplie par 1 l’intégrale:
\begin{equation}
\frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} = 1
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} * \int \sin(2\pi\omega(x-t)dt = \frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} * -\cos(2\pi\omega(x-t) * -2\pi\omega
\end{equation}
Ce qui nous donne finalement comme résultat:
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt = \frac{-\cos(2\pi\omega(x-t)}{-2\pi\omega} = \frac{\cos(2\pi\omega(x-t)}{2\pi\omega}
\end{equation}
#### Transformée primaire de l’intégral au complet
\begin{equation}
\int_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\sin(2\pi\omega_1 (x - t))+\sin(2\pi\omega_2 (x - t))) * \frac{1}{\psi} dt
\end{equation}
\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2}) * \frac{1}{\psi}
\end{equation}
Distribution des constante et factoriser au mème dénominateur commun:
\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1\psi} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2\psi}
\end{equation}
\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1\psi}*\frac{\omega_2}{\omega_2} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2\psi}*\frac{\omega_1}{\omega_1}
\end{equation}
\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-t))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
### Distribution de la constante de temps
Selon la règle:
\begin{equation}
\mid_{\pi}^{-\pi} f(x-t) = f(x-\pi) - f(x+\pi)
\end{equation}
Notre convolution devient:
\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-t))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi} - \frac{\cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
### Regroupement des variables communes
Pour simplifier, je regroupe la formule en différentes parties :
\begin{equation}
\frac{A + B}{C}
\end{equation}
\begin{equation}
A = \cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
B = \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1
\end{equation}
\begin{equation}
C = 2\pi\omega_1\omega_2\psi
\end{equation}
### Règles de transformation sinusoïdal
Selon une des régles de transformation de somme en produit du sinus:
\begin{equation}
cos(p) - cos(q) = - 2 sin(\frac{p+q}{2}) sin(\frac{p-q}{2})
\end{equation}
Nous allons appliquer cette régle sur A et B
\begin{equation}
A = \cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
(\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2)) - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2)))*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1(x-\psi/2) + 2\pi\omega_1(x+\psi/2))}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1(x-\psi/2) - 2\pi\omega_1(x+\psi/2)}{2})*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1((x-\psi/2)+(x+\psi/2))}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1((x-\psi/2) - (x+\psi/2))}{2})*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1(2x)}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1(-2*\psi/2) )}{2})*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(\pi\omega_1(2x)) sin(\pi\omega_1(-\psi)))*\omega_2
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2
\end{equation}
Puis sur B de la même façon.
\begin{equation}
B = \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1
\end{equation}
\begin{equation}
(\cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2)) - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2)))*\omega_1
\end{equation}
\begin{equation}
...
\end{equation}
\begin{equation}
- 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2 - 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{- sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2 - sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\omega_1\psi)*\omega_2 + sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\omega_1\psi)}{\pi\omega_1\psi} + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\omega_2\psi)}{\pi\omega_2\psi}
On peut alors observer que les deux composent du signal (les deux signaux sinusoïdaux) dépende d'un sinus(w * x) et sinus(w * phi).
On notera alors que si phi équivaut à la période d'un des deux composant 1/w. phi annule la composent visé.
Démonstration:
\begin{equation}
\psi = \frac{1}{\omega_1}
\end{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\omega_1\frac{1}{\omega_1})}{\pi\omega_1\frac{1}{\omega_1}} + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\omega_2\frac{1}{\omega_1})}{\pi\omega_2\frac{1}{\omega_1}}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\frac{\omega_1}{\omega_1})}{\pi\frac{\omega_1}{\omega_1}} + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\frac{\omega_2}{\omega_1})}{\pi\frac{\omega_2}{\omega_1}}
\begin{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi)}{\pi} + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\frac{\omega_2}{\omega_1})}{\pi\frac{\omega_2}{\omega_1}}
\end{equation}
Vu que sinus(PI) équivaut a 0. (calcule en radiant) cela revient a faire:
\begin{equation}
0 + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\frac{\omega_2}{\omega_1})}{\pi\frac{\omega_2}{\omega_1}}
\end{equation}
On a belle est bien annulé la premier composant (signal sinusoïdal) composent le signal de base S(x)
Calculer a la main le produite de convolution suivant, en utilisant la méthode de gestion de bord par une valeur de zéro:
$$
\underline{\underline{A}}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}, \underline{\underline{B}}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
$$\underline{\underline{A}} \times \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 4\\
3 & 0 & 7\\
-4 & -11 & 2
Appliquer différents filtres sur l'image suivante "part2.pgm" :
#### filtre F0
\begin{equation*}
\underline{\underline{F_0}} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Résultat de la convolution obtenu:
{ width=50% }
On déterminer que le filtre F0 ne prend pas en compte les pixels aux alentours du pixel focus (centre de la matrice) ce qui revient a copier l'image sans effectuer de changement. On identifie alors un filtre identitaire.
#### filtre F1
\begin{equation*}
\underline{\underline{F_1}} = \frac{1}{25}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Résultat de la convolution obtenu :
{ width=50% }
On détermine que le filtre F1 fait la moyenne des différentes valeurs au alentour du centre de la matrice, on a donc une filtre moyenneur / blur d'une matrice de 5x5. On aperçoit sur l'image traitée un floutage général.
#### filtre F2
\begin{equation*}
\underline{\underline{F_2}} = \frac{1}{256}\begin{pmatrix}
1 & 4 & 6 & 4 & 1\\
4 & 16 & 24 & 16 & 4\\
6 & 24 & 36 & 24 & 6\\
4 & 16 & 24 & 16 & 4\\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Résultat de la convolution obtenu:
{ width=50% }
On détermine que le filtre F2 fait une moyenne des différentes valeurs au alentour du centre de la matrice, en donnant plus de poids aux valeurs les plus proches du centre. On aperçoit sur l'image traitée un floutage général qui impact moins les details de l'image.
#### filtre F3
\begin{equation*}
\underline{\underline{F_3}} = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
-1 & 5 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Résultat de la convolution obtenu:
{ width=50% }
On détermine en observant la matrice, que le filtre F3 soustrait les valeurs aux alentours de la valeur centrale de la matrice, cela a pour effet d'accentuer les changements de valeurs, par exemple un ensemble uniforme ne subit pas de différence, mais un pixel plus sombre entourer des nuances se retrouve augmenter de valeur et inversement pour un pixels plus claire au alentour de plus sombre. On constate donc que notre image traitée perçoit une augmentation de contraste.
#### filtre F4
\begin{equation*}
\underline{\underline{F_4}} = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
-1 & 4 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Résultat de la convolution obtenu:
{ width=50% }
On détermine en observant la matrice, que le filtre F4 soustrait les valeurs aux alentours de la valeur centrale de la matrice. Ce qui va d'accentuer les changements de valeurs, comme le filtre précédent, mais va également noircir les zones uniformes. La soustraction d'une zone uniforme revient à soustraire les valeurs alentour au centre sur une égalité, donc obtient une valeur de 0 (couleur noire). Le filtre revient alors à mettre en contraste les zones de changement de valeur et noircir les zones uniformes. On obtient donc une détection de contours comme nous pouvons l'observer sur l'image traitée.
Le but de cette dernier partie est de mettre en pratique notre implémentation de filtre afin d'afficher une image fortement bruitée, le filtre moyenner nous permet d'effectuer ce traitement.
\begin{equation*}
\underline{\underline{F}} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
{ width=50% }
Une fois la convolution avec un filtre moyenneur appliquer, on obtient une magnifique image grise.
{ width=50% }
En zoomant dans l'image on aspersoir des formes très légèrement marquée. Il faut donc normaliser les nuances de couleurs afin d'y faire ressortir les différences de contrats.
Formules de normalisation:
\begin{equation*}
new valeur = (2^n-1)*\frac{x-min}{max-min}
\end{equation*}
Résultat finalement obtenu:
{ width=50% }
# Conclusion
Ce TP nous a permis de travailler avec des intégrales et des matrices, nous avons donc implémenté des équations mathématiques dont une équation modifiable facilement. Nous avons également fait le traitement analytique des intégrales et ensuite numérique pour constater leurs différences, de plus, nous avons effectué la convolution des matrices pour pouvoir appliquer des kernels sur celle-ci, cela nous à permis de filtrer les images reçus et donc de les "décodée".