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orestis.malaspin authoredorestis.malaspin authored
- Intégrales
- Interprétation géométrique
- Interprétation physique
- Primitive
- Intégrales impropres
- Méthodes d’intégration
- Intégration de fonctions usuelles et cas particuliers
- Polynômes
- Application de la règle de chaîne pour l’intégration
- Inverse de la dérivation logarithmique
- Règle de chaîne
- Intégration par parties
- Intégration par changement de variables
- Le produit de convolution
- La convolution continue
- Interprétation avec les mains
- Le lien avec les filtres
- Intégration numérique
- Erreur d’une méthode d’intégration
- Méthode des rectangles
- Méthode des trapèzes
- Méthode de Simpson
author:
- Orestis Malaspinas
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Intégrales
Interprétation géométrique
Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une fonction f. La fonction f satisfait les hypothèses suivantes.
-
f(x) est bornée dans l’intervalle [a,b]\in{\real}.
-
f(x) est continue presque partout.
Nous définissions également l’infimum de f sur un intervalle [x_0,x_1], noté \inf\limits_{[x_0,x_1]} f(x) comme étant la plus grande valeur bornant par dessous toutes les valeurs prises par f(x) dans l’intervalle [x_0,x_1]. Le suprémum sur un intervalle [x_0,x_1], noté \sup\limits_{[x_0,x_1]} f(x) comme étant la plus petite valeur bornant par dessus toutes les valeurs prises par f(x) dans l’intervalle [x_0,x_1].
Finalement nous définissons une subdivision \Delta_n=\{a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_{n}=b\} est une suite finie contenant n+1 termes dans [a,b].
On peut à présent approximer l’aire sous la fonction f(x) dans l’intervalle [a,b] de plusieurs façons:
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A^i(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i) comme étant l’aire inférieure.
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A^s(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i) comme étant l’aire supérieure.
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A^R(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\cdot (x_{i+1}-x_i), \xi_i\in [x_i,x_{i+1}]
1 et 2 sont les sommes de Darboux, 3 est une somme de Riemann qui, dépendant des choix des \xi_i, peut être égale à 1 ou à 2.
L’aire de sous la fonction f(x) est donnée par la limite pour n\rightarrow\infty de A^i ou A^s (si elle existe). Dans ce cas n\rightarrow\infty A^R (pris en sandwich entre A^i et A^n) nous donne aussi l'aire sous la fonction.
Remarque +.#
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Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe de f.
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Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si \lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.
Dans la formule \int_a^b f(x){\mathrm{d}}x, x est appelée variable d’intégration, a et b sont les bornes d’intégration. Pour des raisons de consistance dans les notations la variable d’intégration ne peut être désignée avec le même symbole qu’une des bornes d’intégration.
Exemple (Intégration de Riemann) +.#
Intégrer de f(x)=x dans intervalle [0,1].
Solution (Intégration de Riemann) +.#
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut 1/2 (c’est l’aire d’un triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire à l’aide de A^i et A^s. Commençons par subdiviser [0,1] en n intervalles égaux de longueur \delta=1/n. Comme f(x) est strictement croissante, on a que \inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_i) et que \sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1}). On a donc que
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A^i(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_i=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}=\frac{n(n-1)}{2n^2}=\frac{n-1}{2n}[^2]. Et donc en prenant la limite pour n\rightarrow\infty il vient A^i=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}.
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A^s(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_{i+1}=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}=\delta\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}. Et donc en prenant la limite pour n\rightarrow\infty il vient A^s=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.
Exemple (Intégration de Riemann de x^2) +.#
Calculer l’aire sous la courbe de f(x)=x^2 dans intervalle [0,1].
Indication: \sum_{i=0}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).
Interprétation physique
Supposons que nous ayons une fonction, x(t), qui donne la position d’un objet pour un intervalle de temps t\in[a,b]. Nous pouvons aisément en déduire la vitesse v(t) de l’objet, comme étant la variation de x(t) quand t varie. Autrement dit v(t)=x'(t).
Supposons à présent que nous ne connaissions que la vitesse v(t) de notre objet. Afin de déduire sa position nous prendrions un certain nombre d’intervalles de temps \delta t_i=t_{i+1}-t_i que nous multiplierions par v(t_i) afin de retrouver la distance parcourue pendant l’intervalle \delta t_i et ainsi de suite. Afin d’améliorer l’approximation de la distance parcourue nous diminuerions la valeur de \delta t_i jusqu’à ce que \delta t_i\rightarrow 0.
Nous voyons ainsi que cette méthode, n’est autre qu’une façon “intuitive” d’intégrer la vitesse afin de trouver la position. Et que l’intégrale et la dérivée sont étroitement liées: la vitesse étant la dérivée de la position et la position étant l’intégrale de la vitesse.
Primitive
Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.#
Soit f une fonction. On dit que F est une primitive de f sur l’intervalle D\subseteq{\real} si F'(x)=f(x) \forall x\in D.
Si F est une primitive de f, alors on peut définir la fonction G telle que G(x)=F(x)+C, C\in{\real} qui est aussi une primitive de f. On voit que la primitive de f est définie à une constante additive près. En effet, si F'=f on a G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.
Théorème (Unicité) +.#
Pour a\in D et b\in{\real} il existe une unique primitive F telle que F(a)=b.
Illustration (Unicité) +.#
Soit f(x)=x, alors l’ensemble de primitives correspondantes est G=x^2/2+C. Si nous cherchons la primitive telle que G(0)=0, il vient que C=0 et donc la primitive est unique et vaut F(x)=x^2/2.
Exercices (Primitives) +.#
Calculez les primitives suivantes (indication: il s’agit de trouver les fonctions F(x) telles que F'(x)=f(x)):
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F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x.
-
F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x, n\in {\real}\backslash\{-1\}.
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F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x.
-
F(x)=\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
-
F(x)=\int \exp(x){\mathrm{d}}x.
-
F(x)=\int \sin(x){\mathrm{d}}x.
Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
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\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C, n\in {\real}\backslash\{-1\}.
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\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C.
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\int \exp(x){\mathrm{d}}x=\exp(x)+C.
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\int \sin(x){\mathrm{d}}x=-\cos(x)+C.
-
\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C.
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion de primitive, nous avons que pour a,b\in{\real} et a<b \int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).{#eq:thm_fond}
On dit que x est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le symbole x par n’importe quelle autre lettre (sauf a,b,f,F).
Remarque +.#
On notera que la constante additive C a disparu de cette formule. En effet, remplaçons F par G=F+C, il vient \int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).
Il suit de l'@eq:thm_fond que \int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0 et que \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x
Nous pouvons à présent définir la fonction G(x) telle que G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a). Il suit que G(x) est la primitive de f telle que G(a)=0.
Propriétés +.#
Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle D=[a,b]\subseteq{\real}, c\in[a,b], et \alpha\in{\real}. On a
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La dérivée et l’intégrale “s’annulent” \left(\int_a^x f(x){\mathrm{d}}x\right)'=\left(F(x)-F(a)\right)'=F'(x)-\left(F(a)\right)'=F'(x)=f(x).
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La fonction h=f+g admet aussi une primitive sur D, et on a \int_a^b(f(x)+g(x)){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_a^b g(x){\mathrm{d}}x.
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La fonction h=\alpha f admet aussi une primitive sur D, et on a \int_a^b\alpha f(x){\mathrm{d}}x=\alpha\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.
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Relation de Chasles (faire la démonstration en exercice) \int_a^c f(x){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_b^c f(x){\mathrm{d}}x. De cette relation on déduit qu’on peut calculer l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur [a,b].
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Si f est paire alors \int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 2\int_0^a f(x){\mathrm{d}}x.
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Si f est impaire alors \int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.
Intégrales impropres
Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une discontinuité à des points bien définis, nous parlons intégrales impropres.
Lorsqu’une borne d’intégration est infinie, alors nous pouvons avoir les cas de figures suivants \begin{aligned} &\int_a^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,\\ &\int_{-\infty}^b f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^b f(x){\mathrm{d}}x,\\ &\int_{-\infty}^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}
Exemple (Intégrale impropre) +.#
Calculer l’intégrale suivante \int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.
Solution (Intégrale impropre) +.#
Nous pouvons réécrire l’intégrale ci-dessus comme \int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e^{-ax}{\mathrm{d}}x=-\frac{1}{a}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\left[e^{-ax}\right]_0^b=-\frac{1}{a}\left[\lim\limits_{b\rightarrow \infty}e^{-ab}-1\right]=\frac{1}{a}.
Exercice +.#
Calculer l’intégrale suivante \int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.
Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction f au point c\in[a,b] nous avons \int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.
Exercice +.#
Montrer que \int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.
Définition (Valeur moyenne) +.#
Soit une fonction f admettant une primitive sur [a,b] avec a<b, alors la valeur moyenne \bar{f} de cette fonction sur [a,b], est définie par \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.
Méthodes d’intégration
Dans cette section, nous allons étudier différentes méthodes pour intégrer des fonctions.
Intégration de fonctions usuelles et cas particuliers
Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines fonctions particulières.
Polynômes
Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour (\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real} \begin{aligned} &\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\ =&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}){\mathrm{d}}x\\ =&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}
Exercice +.#
Intégrer la fonction suivante \int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.
Application de la règle de chaîne pour l’intégration
Une primitive d'une fonction de la forme f(x)f'(x) se calcule aisément \int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.
Nous calculons par exemple \int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.{#eq:sin_cos}
Inverse de la dérivation logarithmique
Une primitive de la forme \int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.
Exemple +.#
Calculer la primitive suivante \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
Solution +.#
Le calcul de la primitive de suivante \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.
Règle de chaîne
Une des façons les plus simples de calculer une primitive est de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer \int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.
Illustration +.#
Si g est définie comme g(x)=x^{-1} et f(x)=3x^2+2, alors la primitive \int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.
Intégration par parties
La dérivation d’un produit de fonctions f\cdot g s’écrit (f(x)g(x))'=f'(x) g(x)+f(x) g'(x). En intégrant cette équation on obtient f(x)g(x)=\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x+\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x. Une primitive de la forme \int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x peut ainsi se calculer de la façon suivante \int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=f(x)g(x)-\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x. De façon similaire si nous nous intéressons à une intégrale définie \int_a^b f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=\left.(f(x)g(x))\right|_a^b-\int_a^b f(x) g'(x){\mathrm{d}}x. Le choix des fonctions est complètement arbitraire. Néanmoins, le but de cette transformation est de remplacer une intégrale par une autre dont on connaîtrait la solution.
Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
-
g' soit facile à calculer et aurait une forme plus simple que g.
-
\int f'{\mathrm{d}}x soit facile à calculer et aurait une forme plus simple que f'.
Exemple +.#
Calculer les primitives suivantes
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\int x e^x{\mathrm{d}}x.
-
\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x.
Solution +.#
-
\int x e^x{\mathrm{d}}x. g(x)=x, f'(x)=e^x et donc g'(x)=1, f(x)=e^x. Il vient \int x e^x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.
-
\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x. g= \cos(x), f'(x)=\sin(x) et donc g'(x)=-\sin(x), f(x)=-\cos(x). Il vient \begin{aligned} &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x\nonumber\\ \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x). \end{aligned}
On voit que le résultat de l’intégration par partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet d’évaluer directement la dite intégrale pour retrouver le résultat de l'@eq:sin_cos
Il est également possible d’enchaîner plusieurs intégrations par parties.
Exemple +.#
Calculer l’intégrale de \int x^2 e^x{\mathrm{d}}x.
Solution +.#
En posant g(x)=x^2, f'(x)=e^x et donc g'(x)=2x, f(x)=e^x. Il vient \int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\int x e^x{\mathrm{d}}x. On pose de façon similaire g(x)=x, f'(x)=e^x et donc g'(x)=1, f(x)=e^x et il vient \int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^2e^x-2x e^x +2e^x+c.
Exercice +.#
Calculer les primitives suivantes
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\int \ln(x){\mathrm{d}}x
-
\int x^2 \sin(x){\mathrm{d}}x
-
\int e^x\sin(x){\mathrm{d}}x
Intégration par changement de variables
On observe que la dérivation de la composition de deux fonctions F et g est donnée par (F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g',\mbox{ ou } [F(g(y))]'=f(g(y))\cdot g'(y), où f=F'. Si nous intégrons cette relation on obtient \begin{aligned} \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned} Cette relation nous mène au théorème suivant.
Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
Soit f une fonction continue presque partout, et g une fonction dont la dérivée est continue presque partout sur un intervalle [a,b]. Soit également l’image de g contenue dans le domaine de définition de f. Alors \int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.
Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer la fonction g(x) par z. Puis il faut également remplacer {\mathrm{d}}x par {\mathrm{d}}z où nous avons que {\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/g'(x). Finalement, il faut changer les bornes d’intégration par a\rightarrow g(a) et b\rightarrow g(b). Si on ne calcule pas l’intégrale mais la primitive, on ne modifie (évidemment) pas les bornes d’intégration, mais en revanche pour trouver la primitive il faut également appliquer la transformation x=g^{-1}(z) sur la solution.
Exemple (Changement de variable) +.#
Intégrer par changement de variables \int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x.
Solution (Changement de variable) +.#
En définissant z=x^2, nous avons {\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x). Les bornes d’intégration deviennent z(1)=1^2=1 et z(3)=3^2=9. On obtient donc \begin{aligned} \int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x&=\int_1^9 6x\ln(z)\frac{1}{2x}{\mathrm{d}}z=\int_1^9\ln(z){\mathrm{d}}z\nonumber\\ &=3\left[z\ln(z)-z\right]_1^9=3(9\ln(9)-9-\ln(1)+1)=27\ln(9)-24. \end{aligned}
Exercice +.#
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
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\int \frac{1}{5x-7}{\mathrm{d}}x
-
\int \sin(3-7x){\mathrm{d}}x
-
\int x e^{x^2}{\mathrm{d}}x
Le produit de convolution
Les convolutions sont très utilisées pour le traitement du signal, le traitement d'images et les réseaux de neurones convolutifs entre autres.
La convolution continue
La convolution de deux fonctions intégrables, f(t), et g(t), notée f\ast g se définit comme \begin{equation} (f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t. \end{equation} On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autre qu'une fonction de x. Pour chaque valeur de x=x_0, on calcule l'intégrale, \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(x_0-t)g(t)\dd t. \end{equation}
Exercice (Commutativité) +.#
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit \begin{equation} (f\ast g)(x)=(g\ast f)(x). \end{equation}
Indication: utiliser la substitution \tau=x-t.
Afin de pouvoir interpêter un peu ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul "simple" pour se faire une idée.
Exercice +.#
Calculer la convolution du signal f(t)
\begin{equation} f(t)=\left{\begin{array}{ll} 1,&\mbox{ si }t\in[0,1]\ 0,&\mbox{ sinon.} \end{array}\right. \end{equation}
Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce f avec lui-même.
Interprétation avec les mains
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, \delta_a(x). Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en 0 (où elle est "infinie"), et son intégrale vaut 1 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty\delta(x)\dd x=1. \end{equation} Même si cela peut sembler étrange, on peut tenter de construire une telle fonction en prenant une suite de rectangles, centrés en 0, dont la surface vaut 1. Puis on rend ces rectangles de plus en plus fins, en imposant que la surface vaut toujours 1 et le tour est joué.
Cette fonction est intéressante, car elle a la propriété suivante lorsqu'on l'utilise pour effectuer des convolutions. \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)\dd y=f(x). \end{equation} En d'autre termes cette intégrale est égale à la valeur de f au point où l'argument du \delta est nul.
A présent, si nous considérons la convolution de f(t) avec la fonction \delta(t-a)=\delta_a, on obtient \begin{equation} (f\ast\delta_a)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\delta(t-a)\dd t=f(x-a). \end{equation} En fait la convolution d'une fonction f avec le delta de Dirac centré en a ne fait que translater la fonction f d'une distance a.
En effectuant à présent la convolution avec une combinaison linéaire de \delta de Dirac \begin{equation} (f\ast(\alpha\cdot \delta_a+\beta\cdot \delta_b))(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)(\alpha\cdot\delta(y-a)+\beta\cdot\delta(y-b))\dd y=\alpha\cdot f(x-a)+\beta\cdot f(x-b). \end{equation} La convolution est donc la moyenne pondérée de f translatée en a et en b par \alpha et \beta respectivement.
On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions f(t) et g(t) comme la moyenne de f(t) pondérée par la fonction g(t).
Le lien avec les filtres
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés) et indépendant du temps (les translations temporelles n'ont aucun effet sur lui) alors on peut lier la convolution et le filtrage.
Si on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre, h(t), le filtrage d'un signal s(t), noté f(s), n'est autre que la convolution de h(t) avec s(t) \begin{equation} f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t. \end{equation}
Intégration numérique
Dans certains cas, il est impossible d’évaluer analytiquement une intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer. Dans ce cas, on va approximer l’intégrale et donc commettre une erreur.
Pour ce faire on subdivise l’espace d’intégration [a,b] en N pas équidistants (pour simplifier) \delta x=(b-a)/N, et on approxime l’intégrale par une somme finie \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i, où g_i est un coefficient qui va dépendre de la méthode d’intégration que nous allons utiliser, E est l’erreur commise par l’intégration numérique et va dépendre des bornes d’intégration, de \delta x (du nombre de pas d’intégration), de la forme de f(x) (combien est “gentille”) et finalement de la méthode d’intégration.
Erreur d’une méthode d’intégration
D’une façon générale plus \delta x est petit (N est grand) plus l’erreur sera petite et donc l’intégration sera précise (et plus le calcul sera long). Néanmoins, comme la précision des machines sur lesquelles nous évaluons les intégrales est finie, si \delta x devient proche de la précision de la machine des erreurs d’arrondi vont dégrader dramatiquement la précision de l’intégration.
Remarque +.#
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur exacte de E. En revanche on est capable de déterminer l’ordre de l’erreur.
Définition (Ordre d'une méthode) +.#
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre k, si l’erreur commise par la méthode varie proportionnellement à \delta x^k. On note qu’une erreur est d’ordre k par le symbole \mathcal{O}(\delta x^k). Exemple: si une méthode est d’ordre deux, alors en diminuant \delta x d’un facteur 2, l’erreur sera elle divisée par 2^2=4. Si une méthode est d’ordre 3, alors en diminuant \delta x d’un facteur 2, nous aurons que l’erreur est divisée par un facteur 2^3=8. Etc.
Comme le calcul d’une intégrale de façon numérique ne donne en général pas un résultat exact, mais un résultat qui va dépendre d’un certain nombre de paramètres utilisés pour l’intégration, il faut définir un critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une précision suffisante.
Notons I(N,a,b,f,g) l’approximation du calcul de l’intégrale entre a et b de la fonction f avec une résolution N pour la méthode d’intégration g I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i, où g_i est encore à préciser. Afin de déterminer si le nombre de points que nous avons choisi est suffisant, après avoir évalué I(N,a,b,f,g), nous évaluons I(2\cdot N,a,b,f,g). En d’autres termes nous évaluons l’intégrales de la même fonction avec la même méthode mais avec un nombre de points deux fois plus élevé. Puis, nous pouvons définir \varepsilon(N) comme étant l’erreur relative de notre intégration avec une résolution N et 2\cdot N \varepsilon(N)\equiv\left|\frac{I(2N)-I(N)}{I(2N)}\right|. Si à présent nous choisissons un \varepsilon_0>0 (mais plus grand que la précision machine), nous pouvons dire que le calcul numérique de notre intégrale a convergé (on parle de convergence du calcul également) pour une résolution N quand \varepsilon(N)<\varepsilon_0.
Méthode des rectangles
Pour la méthode des rectangles, nous allons calculer l’intégrale en approximant l’aire sous la fonction par une somme de rectangles, comme nous l’avons fait pour la définition de l’intégration au sens de Riemann. La différence principale est que nous ne regarderons pas les valeurs minimales ou maximales de f sur les subdivisions de l’espace, mais uniquement les valeurs sur les bornes. Cette approximation donne donc la formule suivante \begin{aligned} \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x),\\ &\cong\sum_{i=1}^{N} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x)\end{aligned}{#eq:rect_gauche} Cette méthode est d’ordre 1. Une exception s’applique cependant concernant l’ordre de l’intégration. Si la fonction à intégrer est une constante f(x)=c, alors l’intégration est exacte.
Dans les deux cas ci-dessus on a évalué la fonction sur une des bornes. On peut améliorer la précision en utilisant le “point du milieu” pour évaluer l’aire du rectangle. L’approximation devient alors \begin{aligned} \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2).\end{aligned} Cette astuce permet d’améliorer la précision de la méthode à très faible coût. En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée et devient d’ordre 2. Elle est exacte pour les fonctions linéaires f(x)=c\cdot x + d.
Méthode des trapèzes
Pour la méthode des trapèzes, nous allons calculer l’intégrale en approximant l’aire sous la fonction par une somme de trapèzes. Pour rappel l’aire d’un trapèze, dont les côtés parallèles sont de longueurs c et d et la hauteur h, est donnée pas A=(c+d)h/2. Cette approximation donne donc la formule suivante \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x \frac{f(a+i\cdot\delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)}{2}+\mathcal{O}(\delta x^2). Cette méthode est d’ordre 2. Cette méthode d’intégration est aussi exacte pour les fonctions linéaires f(x)=c\cdot x + d.
Méthode de Simpson
Pour cette méthode, on approxime la fonction à intégrer dans un intervalle par une parabole.
Commençons par évaluer l’intégrale à l’aide d’une subdivision dans l’ensemble [a,b].
L’idée est la suivante. On pose f(x)=c\cdot x^2+d\cdot x+e et il faut déterminer c, d, et e. Il faut donc choisir 3 points dans l’intervalle [a,b] pour déterminer ces constantes. On choisit comme précédemment f(a), f(b), et le troisième point est pris comme étant le point du milieu (f(a+b)/2). On se retrouve ainsi avec trois équations à trois inconnues \begin{aligned} f(a)&=c\cdot a^2+d\cdot a+e,\\ f(b)&=c\cdot b^2+d\cdot b+e,\\ f((a+b)/2)&=\frac{c}{4}\cdot (a+b)^2+\frac{d}{2}\cdot (a+b)+e.\end{aligned} En résolvant ce système (nous n’écrivons pas la solution ici) nous pouvons à présent évaluer l’intégrale \begin{aligned} I&=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e){\mathrm{d}}x,\nonumber\\ &=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}
On peut généraliser et affiner cette formule en rajoutant des intervalles comme précédemment et en répétant cette opération pour chaque intervalle.
Il vient donc que \begin{aligned} I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\ &\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}
Cette méthode permet d’évaluer exactement les intégrales des polynômes d’ordre 3, f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.