03_charge_electrique_champs_electrique.md



La charge électrique et le champs électrique
Les forces électriques sont omniprésentes dans notre vie de tous les jours.
Elles permettent d'allumer des ampoules, de faire fonctionner les
ordinateurs, de faire tourner des moteurs, ... Elles sont aussi
responsables des interactions inter-atomiques pour que des amas d'atomes
formes des solides ou les liquides. En réalité un certain nombre des
forces que nous avons considéré dans le chapitre précédent sont
le résultat des interactions électrique au niveau atomique (la force de
frottement par exemple).

L'électricité statique et la conservation de la charge électrique
Lorsqu'on frotte un ballon de baudruche contre sa tête, on constate
que les cheveux ont tendances à rester attachés au ballon
plutôt que de tomber vers le sol sous l'effet de la gravité.
On dit aujourd'hui que les cheveux se dresse sous l'effet de l'électricité statique.
En réalité sous l'effet du frottement le ballon comme les cheveux deviennent "chargés":
il possèdent une charge électrique.
Il existe deux types de charges électriques: la charge positive et la charge négative.
Des objets possédant une charge de même type ont tendance à se repousser,
alors que ceux possédant des charges opposées
ont tendance à s'attirer mutuellement.
L'expérience de charger un objet en le frottant peut amener à charger positivement ou
négativement un objet. Ainsi, on dit qu'une baguette en verre est chargée positivement,
alors qu'une baguette en plastique est chargée négativement. Ce choit est totalement arbitraire
et a été choisi par B. Franklin (au 18e siècle) qui a été un des premiers à faire ce type d'expériences.
Avant de frotter ses cheveux contre un ballon et de rendre les cheveux et le ballon chargé,
on constate qu'il n'y a pas d'attraction particulière entre ces deux objets. Cela signifie
que ni l'un ni l'autre ne sont chargés. En fait le frottement va donner une charge
égale et opposée à chaque objet.
Cela est une conséquence de la loi de la conservation de la charge électrique qui dit que

La charge totale produite par un processus est nulle,

ou en d'autre termes

Aucune charge ne peut être créée ou détruite.

En pratique cela signifie que si une région de l'espace acquière une charge positive
une autre région aura acquis dans le même temps la même charge mais négative.

Question (D'autres lois de conservation) #
Connaissez-vous d'autres lois de conservation?


Réponse (D'autres lois de conservation) #
La conservation de l'énergie, de la masse, de la quantité de mouvement, ...


La charge électrique dans les atomes
Un modèle simplifié d'un atome postule qu'un atome possède un noyau chargé positivement (composé de
protons et de neutrons, ces derniers n'ont pas de charge) autour duquel tournent les électrons chargés négativement (voir @fig:bohr). Les protons ont exactement la même charge électrique que les électron
mais inversée. Ainsi les atomes n'ont pas une charge nette.

Sous l'effet du frottement (entre autres) un atome peut perdre ou gagner des électrons.
Il devient ainsi positivement ou négativement chargé (respectivement),
et est appelé un ion. Les atomes dans un solide ont une structure
cristalline (ils ne peuvent quasiment pas bouger). De plus dans des isolants
les électrons sont également fortement attachés à leurs noyaux, alors que dans
des conducteurs ils sont libres de se mouvoir à la surface du solide. Ainsi,
lorsqu'on frotte un isolant (un ballon) avec un autre isolant (les cheveux),
des électrons sont transférés de l'un vers l'autre ce qui conduit
à un transfère net de charge. Cette charge nette ne dure pas indéfiniment
car les électrons en trop sont diffusés dans l'air, attirés par les molécules d'eau
en général.

Isolants et conducteurs
Si nous sommes en présence de deux objets métalliques. Un chargé électriquement
et un autre neutre et qu'on connecte les deux objets à l'aide
d'un fil métallique, on constate que l'objet non chargé devient rapidement chargé.
A l'inverse si on connecte les deux objets métalliques avec
un morceau de plastique, la charge de l'objet neutre ne changera pas.
Les objets métalliques sont de bons conducteurs d'électricité, alors que
le plastique est un isolant (il conduit mal l'électricité). Il existe également
une sorte intermédiaire qui est à mi-chemin entre isolant et conducteur:
les semi-conducteurs. Le silicium entre dans cette catégorie par exemple (le silicium est un composant très important des ordinateurs).
Nous parlerons des semi-conducteurs plus tard dans ce cours.
La différence entre isolant et conducteur au niveau atomique est la suivante.
Les électrons dans un isolant sont très fortement attachés au noyaux. Pour un conducteur
en revanche, certains électrons ont un lien beaucoup plus faible avec le noyau
et peuvent se déplacer librement à la surface du matériau conducteur (mais pas s'en détacher).
Ces électrons sont appelés électrons libres. Ainsi, un matériau chargé qui entre en contact
avec un conducteur, va avoir pour effet de déplacer les électrons de celui-ci.
Si la charge est positive, les électrons se déplaceront vers le la charge,
à l'inverse il s'en éloigneront si la charge est négative.
Pour en revenir à notre exemple du début de la section, lorsqu'un
conducteur neutre, 
N
, est mis en contact avec un autre conducteur chargé positivement, C,
le conducteur N deviendra également positivement chargé.
En effet, lorsque N
 et C
 sont mis en contact les électrons de N
sont attirés par la charge positive de C
, et certains passeront de N à
C
, diminuant la charge nette de C et augmentant la charge positive
de N
, jusqu'à ce que N
 et C aient la même charge. Ce processus
est appelé charge par conduction car les deux conducteurs sont en contact
direct.
Si maintenant les deux objets sont rapprochés, mais sans être mis en contact. Les électrons libres ne vont pas quitter le conducteur 
N
 pour rejoindre le conducteur C
. En revanche, les électrons de N
seront attirés par le conducteur C et se déplaceront en direction
de C
 créant ainsi deux zones à l'intérieure de N
: une chargée négativement proche de C
, et une positivement éloignée de C.
Néanmoins, la charge nette de N reste toujours la même,
c'est à dire nulle. Ce processus est appelé charge par induction.

Question (Charger un conducteur) #
Pouvez-vous imaginer un processus pour charger un conducteur en utilisant
la charge par induction?

Ce processus permet de charger un objet assez facilement.
Pour ce faire, il faut connecter l'objet à l'aide d'un conducteur à la Terre[^8] (à l'aide d'un fil par exemple). Puis en utilisant la
charge par induction les électrons vont quitter (ou pénétrer)
le conducteur depuis la Terre. Puis il suffit de couper le
fil et le tour est joué.

La loi de Coulomb
Dans les précédentes sections, nous avons vu la phénoménologie
de la force que les charges électriques peuvent exercer entre
elles. Ces forces peuvent être attractives ou répulsives, mais
nous ne savons pas encore quelle peut être la magnitude de cette
force.

Question (Force électrique) #
De quoi dépend la force électrique à votre avis?

La force électrique a été étudiée par Charles Coulomb au 18e siècle
(1780 environ) à l'aide d'une balance à torsion. Cette balance
est basée sur le même principe qu'une balance pour la gravitation mais
adaptée à la force électrique (une vidéo décrivant l'expérience
peut se trouver sur ce lien).
Un axe avec une boule conductrice à une extrémité est suspendue
à un long fil très fin. Le dispositif est enfermé dans une cloche
en verre limitant ainsi les courants d'air. Dans cette cloche
on peut introduire un autre conducteur chargé. Lorsque les boules sont mises en contact, la charge est répartie entre les deux objet et ils se repoussent. Cette force induit une torsion du fil,
et on peut ainsi mesurer l'amplitude de la force. Ainsi on peut mesurer
la torsion du fil sous l'effet de la force électrique.
En variant la distance de départ entre les charges, et en utilisant
plus d'objets, Coulomb a pu déterminer sa loi reliant la force électrique avec la distance et la charge.
Coulomb énonce que la force électrique
entre deux object de charges 
Q_1
, et Q_2, est proportionnelle au produit des charges en présence et inversément
proportionnelle au carré de la distance, r, qui les sépare[^9].
Cela peut s'écrire sous la forme

F=k\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2},

où k est la constante de proportionnalité. Une autre grandeur
apparaît souvent dans la littérature, la permittivité du vide, \epsilon_0,
qui est relié à k par la relation

k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0},

avec \epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2).
La force est toujours dans la direction de la ligne reliant
les deux charges.

Exercice (Attraction-répulsion) #
A l'aide de la formule ci-dessus. Pouvez-vous faire un schéma de deux charges, 
Q_1
 et Q_2,
ainsi que de la force de Q_1
 sur Q_2
 et de Q_2
 sur Q_1
 dans les cas où:


Q_1>0
 et Q_2>0
.

Q_1>0
 et Q_2<0
.

Q_1<0
 et Q_2>0
.

Q_1<0
 et Q_2<0
.


Si les deux charges ont le même signe la force est
répulsive (la force éloigne les charges), si les deux charges ont un signe opposé, la force est attractive (la force attire les charges l'une vers l'autre).

Question (Action-réaction) #
Est-ce que la loi de Coulomb est compatible avec la troisième loi de Newton (principe d'action-réaction)?


Réponse (Action-réaction) #
On constate que la loi de Coulomb est effectivement compatible
avec la troisième loi de Newton (encore heureux!). En effet,
l'amplitude de la force est la même quelque soit la charge (
Q_1
 ou Q_2) de l'objet que nous considérons, et les forces sont également opposées en direction étant donnée qu'elles sont
répulsives ou attractives.


Remarque (Force de gravitation) #
On constate que la loi de Coulomb est très similaire à la
loi de gravitation universelle pour deux masses 
m_1
, m_2,
séparée par une distance r

F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2},

où G est la constante de gravitation universelle.
Une différence fondamentale est que la gravitation
est une force uniquement attractive, alors que la force de Coulomb
peut-être attractive ou répulsive.

L'unité de la charge électrique est le Coulomb, [\mathrm{C}].

Question (Unités de k) #
Quelles sont les unités de la constante k?


Réponse (Unités de k) #
En SI la constante k a pour valeur

k=8.988\cdot 10^9\ \frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2},

où \mathrm{C} est le Coulomb, l'unité de la charge électrique.

Pour avoir une idée de ce que représentent ces grandeurs,
voyons quelle force exerceraient entre elles deux charges
d'un Coulomb séparées d'un mètre:

F\cong 9\cdot 10^9\frac{\cdot 1\cdot 1}{1^2}=9\cdot 10^9\ \mathrm{N}.

Cela correspond au poids d'un objet de presque 10^9\ \kg!
On voit qu'un Coulomb est une charge gigantesque qu'on ne rencontre pas fréquemment dans la nature. Typiquement, les charges sont plutôt de l'ordre du \mu C (soit 10^{-6} Coulombs).
L'unité élémentaire de la charge, est la charge d'un proton ou d'électron, notée e: la charge élémentaire. Elle vaut

e=1.6022\cdot 10^{-19} \mathrm{C}.

Ici e est positive et correspond donc à la charge d'un
proton, alors que -e est la charge de l'électron.

Question (Charge élémentaire) #
Quelle conséquence y a-t-il à avoir une charge élémentaire?
Toutes les charges sont-elles possibles?


Réponse (Charge élémentaire) #
L'existence d'une charge élémentaire a comme conséquence
que la charge est "quantisée": elle n'est exprimable qu'en
multiples entiers de e (e, 2e, 3e, ...). Il est
ainsi impossible d'avoir une charge qui soit 12889283. 512\cdot e. Pour des usages pratiques, on voit néanmoins
que cette discrétisation n'a pas d'implication directes:
il faut environ 10^{13} électrons pour faire 1\mu\mathrm{C}. On a donc l'impression à l'échelle humaine
que la charge est une quantité continue. En revanche à
des échelles nanoscopies (la taille des circuits des micro-processeurs par exemple) l'effet de la quantisation
devient visible et même problématique (on a atteint la limite de réduction de la taille des circuits imprimés classiques à cause de l'effet tunnel).

L'équation de Coulomb s'applique à des charges ponctuelles ou au moins
la taille ds objets chargés est beaucoup plus faible que les distances entre les objets.
Cela permet de négliger la distribution des charges dans des objets qui pourrait être
non-uniforme. Par ailleurs, cette équation est valable quand les charges sont stationnaires
car d'autres forces entre en jeu lorsque les charges sont en mouvement, mais cela
dépasse le cadre de ce cours. Ici nous nous intéressons donc à l'électrostatique
et donc l'équation de Coulomb donne la force électrostatique.

Exemple (force électrique sur un proton) #
Déterminer la valeur, direction et orientation de la force électrique entre un proton
et un électron, de charges Q_1=-e et de charge Q_2=+e dans un atome d'hydrogène
en supposant que l'électron et le proton sont à une distance de r=0.5\cdot 10^{-10}\mathrm{m}.
Solution (force électrique sur un proton) #
La norme de la force se détermine aisément avec l'équation de Coulomb

F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 1.6^2\cdot 10^{-38}}{0.5^2\cdot 10^{-20}}\cong 9\cdot 10^{-8}\ \mathrm{N}.

Cette force va dans la direction reliant le proton et l'électron, et est attractive car les forces sont opposées.


Exemple (Symétrie) #
Soient deux forces Q_1=10\mu\mathrm{C} et Q_2=100\mu\mathrm{C} séparées par une distance r. Quelle charge ressent la plus grande force?
Solution (Symétrie) #
La force ressentie par les deux forces est la même. En effet,

F_{12}=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=k\frac{Q_2Q_1}{r^2}=F_{21}.


La loi de Coulomb décrit l'intéraction entre deux charges.
En présence de plusieurs charges, nous pouvons appliquer
le principe de superposition et, comme nous l'avons fait
pour la force de gravitation, et considérer les forces deux
par deux comme des vecteurs. Ainsi, si nous avons un système
de trois charges, Q_1, Q_2, et Q_3, la charge Q_1
ressent la somme de la force Q_2\rightarrow Q_1 et Q_3\rightarrow Q_1.

Deux exercices
Les exercices suivants sont très similaires à ce que nous avons fait
avec les forces au chapitre précédent. L'unique différence, c'est que les forces
sont obtenues avec la loi de Coulomb.

Exemple (Sur une ligne) #
Soient trois particules chargées, Q_1, Q_2, et Q_3 alignées de gauche à droite (voir @fig:charges_aligned).
Calculer la force exercée sur Q_3 (la particule la plus à droite) si les charges sont
données par

Q_1=-8\mu\mathrm{C},\quad Q_2=3\mu \mathrm{C},\quad Q_3=-3\mu\mathrm{C},

et que les distances sont de

r_{12}=0.3\ \mathrm{m},\quad r_{23}=0.2\ \mathrm{m}.

Ensuite calculer les forces agissant sur Q_1 et Q_2.

Solution (Sur une ligne) #
Par le principe de superposition, on a que la force résultante, \vec F que ressent Q_3 est donnée par

\vec F=\vec F_{2\rightarrow 3}+\vec F_{1\rightarrow 3}.

La loi de Coulomb nous donne immédiatement F_{2\rightarrow 3} et F_{1\rightarrow 3}
\begin{align}
F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_23^2}\cong 1.2\mathrm{N},\
F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_13^2}\cong 2.7\mathrm{N}.
\end{align}
La charge Q_3 étant négative la force de Q_1 est répulsive, alors que  celle de Q_2 est attractive.
On a donc finalement

F=-F_{2\rightarrow 3}+F_{1\rightarrow 3}=-1.5\mathrm{N},

et la force pointe vers la gauche.
Les force sur Q_1 et Q_2 sont à faire pour vous comme des grand·e·s.

Cet exercice nous montre une propriété importante de la
force électrique. La charge Q_2 ne masque pas du tout
la charge Q_1. En effet, la force que Q_1 applique sur Q_3 est la même que si Q_2 n'était pas là.

Exemple (Avec des vrais vecteurs) #
Soient trois charges comme sur la @fig:charges. Calculer la force électrostatique résultante
sur Q_3 dûes aux charges Q_1 et Q_2.
Ajouter une charge Q_4=-50\mu\mathrm{C} de telle façon à ce que la force sur Q_3 soit nulle. Quelle doit être sa position?

Solution (Avec des vrais vecteurs) #
Cet exercice se résout de façon très similaire à l'exercice précédent, simplement que le problème est bi-dimensionnel. La force résultante sur Q_3 est donnée
par

\vec F=\vec F_{2\rightarrow 3}+\vec F_{1\rightarrow 3}.

Les normes de \vec F_{2\rightarrow 3} et \vec F{1\rightarrow 3} se calculent avec la loi de Coulomb
\begin{align}
F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_23^2}\cong 325\mathrm{N},\
F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_13^2}\cong 140\mathrm{N}.
\end{align}
Avec vos talents de trigonométrie, on a ensuite que les vecteurs sont donnés par
\begin{align}
\vec F_{1\rightarrow 3} &= F_{1\rightarrow 3}\vectwo{\cos 30}{-\sin 30}=\vectwo{120}{-70}\mathrm{N},\
\vec F_{2\rightarrow 3} &= F_{2\rightarrow 3}\vectwo{\cos 90}{\sin 90}=\vectwo{0}{325}\mathrm{N}.
\end{align}
Et on a finalement

\vec F=\vectwo{120+0}{325-70}=\vectwo{120}{255}\mathrm{N}.

On peut en déduire la norme ||\vec F|| à l'aide du théorème de Pythagore

||\vec F||=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\cong 280\mathrm{N}.

L'orientation, \theta, de \vec F se calcule également avec un peu de trigonométrie

\tan\theta=\frac{F_y}{F_x}=\frac{255}{120}=2.13 \Leftrightarrow \theta=65^\circ.

Afin de déterminer l'endroit où il faut placer Q_4, il faut que la somme de \vec F avec \vec F_{4\rightarrow 3} soit nulle. On doit donc avoir que la norme de ces deux forces doivent être égales et que leur direction doivent être opposées. Cela nous donne deux conditions
\begin{align}
F=F_{4\rightarrow 3},\
\theta_4=360-\theta.
\end{align}
Nous connaissons déjà la direction de la force et donc dans quelle direction se trouvera Q_4 (la direction pointée par l'angle \theta_4). La première condition nous permet finalement de calculer la distance entre Q_3 et Q_4, r_{34}
\begin{align}
F&=k\frac{Q_3Q_4}{r_{34}^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 50\cdot 10^6}\cdot 65\cdot 10^{6}{r_{34}^2},\nonumber\
r_{34}^2&=k\frac{Q_3Q_4}{r_{34}^2}=\frac{29.2}{280},\nonumber\
r_{34}&=0.32\mathrm{m}.
\end{align}

Encore une fois on utilise le principe de superposition
pour déterminer l'emplacement de la nouvelle charge comme si les charges Q_1 et Q_2 n'existaient pas.

Exercice (Flotter) #
Soient deux charges, Q et -Q qui sont à une distance r l'une de l'autre. Pouvez-vous trouver l'endroit où
on peut placer une charge Q entre les deux pour qu'elle ne ressente aucune force? Même question mais pour les deux charges initiales ayant une charge positive.


Le champs électrique
Les forces habituelles que nous exerçons ou subissons tous les jours sont souvent dites
de "contact". Ainsi lorsque notre main tiens un stylo, que nous donnons un coup de pied dans un ballon, ... il y a un contact direct entre les objets. La force de gravitation et la force électrique ne fonctionnent pas comme cela, elles agissent à distance sans que des objets se touchent. Cette notion est un peu compliquée à appréhender. On la représente à l'aide d'un champs. Le champs électrique s'exerce vers l'extérieur d'une charge, Q, dans toutes les directions et remplit tout l'espace (voir @fig:electric_field).

Si une seconde charge, q, est placée quelque part proche de la charge initiale, elle va intéragir avec le champs électrique de celle-ci. Cette intéraction
est la source de la force électrostatique exercée par Q sur q.
Le champs électrique d'une charge Q peut être mesuré à l'aide d'une charge test q. La charge test doit être suffisamment petite pour avoir un effet négligeable sur le champs électrique de Q. On peut donc ainsi en baladant q dans l'espace autour de Q, mesurer la force, \vec F, exercée par Q sur q. Le champs électrique \vec E est ensuite défini comme la force exercée sur q divisée par q

\vec E=\frac{\vec F}{q}.

De la loi de Coulomb, on peut donc déduire que le champs électrique autour d'une charge Q,
mesurée à l'aide d'une charge q sera donné par

E=k\frac{Qq}{r^2}\frac{1}{q}=k\frac{Q}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}.

On voit donc que E ne dépend que de Q et plus de q.
Le champs électrique est une quantité ne dépendant que de la charge qui l'émet. Il décroît comme le carré de la distance
entre la charge et le point de la mesure.
Si à présent on inverse le problème et qu'on nous donne un champs électrique \vec E, et qu'on aimerait connaître la force dûe à ce champs électrique sur une charge q quelconque. On aurait

\vec F=\vec E q.


Exemple (Photocopieuse) #
Une photocopieuse fonctionne en arrangeant des charges
(suivant la forme de ce qu'on veut copier)
sur la surface d'un rouleau et ensuite en disposant
gentiment l'encre sèche, des particules chargées négativement (le toner), sur le rouleau pour qu'elles s'y attachent. Ainsi, le toner s'attache en suivant
la forme des particules chargées et est ensuite chauffé
lorsqu'il se trouve au contact du papier pour y être transféré. En supposant que chaque particule de toner a un excès de 20 électrons et que leur masse est de 9\cdot 10^{-16}\mathrm{kg}. Quelle doit être le champs électrique du rouleau pour que les particules restent attachées au rouleau, s'il faut au moins une force de deux fois leur poids pour qu'elles ne s'en détachent pas?
Solution (Photocopieuse) #
La charge de chaque particule de toner est de q=20e. La force électrostatique qui s'applique sur chacune d'entre elles est de F=qE. De plus, on nous dit que pour que le toner ne se détache, la force électrostatique doit être au moins égale à deux fois le poids de chaque particule. Il vient donc

q\cdot E=2\cdot m\cdot g.

On résout pour E et on trouve

E=\frac{2mg}{q}=\frac{2\cdot 9\cdot 10^{-16}\cdot 9.8}{20\cdot 1.6\cdot 10^{-19}}=5.5\cdot 10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}.


Exercice (Charge ponctuelle) #
Calculer l'amplitude et la direction du champs électrique émis par une charge
ponctuelle de charge Q=-5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{C} à un point P, se trouvant
à 50\cm à droite de la charge Q.


Le champs électrique en un point de l'espace émis par plusieurs charges
sera la sommes des champs électriques émis par chacun des charges indépendamment des autres, en vertu du principe de superposition. Ce principe a été confirmé expérimentalement vérifié.

Exemple (Champs électrique entre deux charges) #
Deux charges ponctuelles, Q_1 et Q_2, sont séparées par une distance de 1\m.
Si Q_1=200\mu\mathrm{C} et Q_2=-400\mu\mathrm{C}.

Déterminer la direction et l'amplitude du champs électrique à un point P entre les deux charges, avec P se trouvant à 30\cm de Q_1 et 70\cm de Q_2.
Si nous plaçons un électron au repos en P (m=9\cdot 10^{-31}\kg). Quelle sera sont accélération au moment où il est libéré?

Solution (Champs électrique entre deux charges) #

Le champs électrique en P est rien d'autre que la somme des champs électriques de chaque
charge prises individuellement. Si Q_1 est à gauche et Q_2 à droite, on a que E_1 pointe vers la droite et E_2 vers la droite également. Avec la loi de Coulomb et le principe de superposition, on a

E=E_1+E_2=k\left(\frac{Q_1}{r_1^2}+\frac{Q_2}{r_2^2}\right)=9\cdot 10^9\left(\frac{2\cdot 10^{-4}}{0.3^2}+\frac{4\cdot 10^{-4}}{0.7^2}\right)=2.73\cdot 10^7\N/\mathrm{C}.


L'accélération de l'électron sera donnée par la deuxième loi de Newton:

F=m\cdot a,

avec F=q\cdot E. Il vient donc

a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{1.6\cdot10^{-19}\cdot 2.73\cdot 10^7}{9\cdot 10^{-31}}=4.85\cdot 10^{18}m/s^2.


Exercice (Carré) #
Soient quatre charges de même amplitude mais de signe pouvant être différent et placées
sur les 4 coins d'un carré. Quel arrangement va produire le champs électrique le plus élevé
au centre du carré?

Les 4 charges positives?
Les 4 charges négatives?
Trois positives, une négative?
Trois négative une positive?
Deux positives, deux négatives?


Exercice (Avec des vrais vecteurs) #
Soient trois charges comme sur la @fig:charges. Calculer le champs électrostatique
à la position Q_3 dûes aux charges Q_1 et Q_2.


Les lignes de champs électrique
Le champs électrique est représenté par un vecteur, et on parle de champs vectoriel
pour le représenter. Cela signifie qu'à chaque point de l'espace le champs électrique
va associer un vecteur, qui aura l'amplitude et la direction du champs électrique en ce point
(voir @fig:champ_e).
Dessiner de tels vecteurs peut être facilement fastidieux et peut lisible lorsque la
quantité de vecteurs devient trop grande.

Pour visualiser un champs électrique, on utilise en général une série de lignes
pour indiquer la direction du champs électrique (on s'intéresse plus à sont amplitude
dans ce cas). On parle alors des lignes de champs électrique et sont dessinées
pour indiquer la direction de la force dûe à des carges électriques sur une charge test
positive. Cette convention implique que les lignes de champs sont sortantes pour une
charge positive et entrantes pour une charge négative (voir @fig:plus_minus_field)


Exercice (Charge seule) #
Dessiner les lignes de champs pour un charge positive seule et une charge négative seule.

On ne dessine qu'une quantité limitées de lignes de champs, bien qu'il en existe une infinité.
La densité de lignes de champs est proportionnelle à l'intensité du champs
électrique dans cette région de l'espace (plus elles sont denses plus le champs électrique
est important). Cette propriété des lignes de champs électrique sera très utile plus tard il
faut donc bien s'en souvenir.

Question (Champs électrique entre deux plaques de signes opposés) #
Soient deux plaque infinies, à quoi vont ressembler les lignes de champs électrique?


Réponse (Champs électrique entre deux plaques de signes opposés) #
Les lignes de champs sont parallèles entre elles, sortantes de la plaque positive et entrantes dans la plaque négative. Pour des raisons de symétrie, on peut assez facilement se convaincre
que les lignes de champs sont perpendiculaires aux plaques. En effet, une charge test
placées entre deux plaques infinies ressentirait une force symétrique
de la part de chaque plaque et irait donc dans la direction perpendiculaire aux plaques.
Dans le cas où les plaques ne sont pas infinies, les lignes de champs s'incurvent au
fur et à mesure qu'on s'approche des extrémités des plaques (voir @fig:plaques_non_sym)


Le champs électrique dans des conducteurs
A présent, nous voulons discuter les propriétés des conducteurs
à la lumière du concept des champs électriques.
Dans le cas statique, c'est à dire quand les charges sont au repos, le champs
électrique dans un conducteur est nul. En effet, s'il existait un champs électrique
dans le conducteur, les électrons libres se mettraient en mouvement (sous l'influence
du champs électrique). Les électrons se positionneraient de telle façon que le champs
devienne nul (et qu'ainsi ils ne bougent plus).
Cette propriété a un certain nombre de conséquences intéressantes.


Toute charge nette dans un conducteur se distribue à sa surface. Pour des charges
négatives, on peut assez aisément imaginer que les électrons essaient de s'éloigner les plus
possible les uns des autres, et se dirigeront vers la surface du conducteur (voir @fig:field_conductor).
Si une charge Q>0 est entourée par un anneau conducteur (la charge er le conducteur ne se touchent pas). Comme il ne peut y avoir de lignes de champs dans l'anneau, les charges négatives du se placeront sur la surface interne de l'anneau alors que les positives iront sur la face externe. Comme la charge nette du conducteur est nulle, la charge sur la surface interne du conducteur doit être de -Q et sa surface externe doit être +Q. Ainsi, les lignes
de champs électriques se "recréent" à l'extérieur du conducteur, bien qu'il n'en existe pas é l'intérieur (voir @fig:field_conductor).
Le champs électrique à l'extérieur d'un conducteur forme toujours un angle de 90^\circ avec la surface. En effet, si l'angle n'était pas perpendiculaire, la composante parallèle du champs électrique déplacerait les charges  le long de la surface (car une force s'appliquerait sur elles) jusqu'à ce qu'elles atteignent une position d'équilibre où elles ne bougent plus (où plus aucune force ne s'exercent sur elles). Et dans cette position le champs électrique est perpendiculaire.

Ces propriétés ne s'appliquent qu'aux conducteurs. Les isolants n'ayant pas d'électrons libres,
ceux-ci ne peuvent pas se déplacer librement. Un champs électrique peut donc exister à
l'intérieur d'un isolant. De plus le champs électrique à la surface d'un isolant peut ne pas être perpendiculaire.

Question (Cage de Faraday) #
Une boîte en métal est placée entre deux plaques parallèles chargées électriquement
comme sur @fig:metal_box.

Quel sera le champs électrique à l'intérieur de la boîte?


Réponse (Cage de Faraday) #
Il y a deux cas de figure:

La boîte est "pleine" (remplie de métal). Dans ce cas, que nous avons déjà discuté
les électrons libres du métal se redistribuent dans le métal afin de faire en sorte que
le champs électrique soit nul à l'intérieur.
La boîte en "vide" et c'est un peu plus complexe, mais le résultat est le même.
Le champs externe ne sera pas modifié, car les électrons externes se redistribueront
exactement de la même manière que pour la boîte pleine. Cela entraîne que le champs à l'intérieur
sera également nul, car la distribution externe des électrons sera la même que dans le cas de la boîte
pleine. On voit qu'une cage métallique est bon moyen d'isoler un volume d'un champs électromagnétique externe à la boîte (voir @fig:metal_box_sol). Ainsi, une voiture frappée par la foudre protégera ses occupants tout comme un avion ne sera en général que légèrement impacté s'il reçoit la foudre.
Contrairement à être sous un arbre pendant un orage...


La loi de Gauss
La loi de Gauss (célèbre mathématicien et physicien de 18-19e siècle) fait intervenir
le concept de flux électrique. Cette quantité est la quantité de champs électrique
passant au travers d'une surface. L'équivalent pour un liquide serait le débit
(la quantité de liquide passant au travers d'une surface).
Pour un champs électrique uniforme, \vec E, passant au travers d'une surface S (voir @fig:flux_a),
comme sur @fig:flux_a le flux, \Phi_E est donné par

\Phi_E=E\cdot S\cdot \cos(\theta),

ou \theta est l'angle entre la normale de la surface et la direction du champs électrique.

Le flux électrique peut être vu de façon équivalent comme la projection de la surface sur
la direction du champs électrique ou la projection du champs électrique sur
le vecteur normal de la surface.

\Phi_E=E_\perp\cdot S=E\cdot S_\perp=E\cdot S\cos \theta,

où S_\perp=S\cdot \theta est la projection de \vec S sur la direction du champs électrique (la surface S multipliée par le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface) et E_\perp la projection de \vec E sur la direction normale à la surface S.
Comme nous l'avons discuté plus haut, le champs électrique se représente
avec les lignes de champs. Plus le champs est intense, plus les lignes sont
rapprochées. Ainsi le nombre de le champs électrique E est proportionnel à
la densité des lignes traversant S_\perp,

N\sim E\cdot S_\perp=\Phi_E.

Le théorème de Gauss implique le flux total de champs électrique sur une surface fermée.
Prenons un cas simplifié pour commencer, où la surface fermée est un cube. On souhaite calculer
le flux total passant u travers de la surface du cube (voir @fig:flux_cube) et le champs électrique est uniforme.

Pour ce faire nous numérotons les facettes du cube \Delta S_1, \Delta S_2, ..., \Delta S_6 (voir @fig:flux_cube),
et l'angle entre le champs électrique et chacune des normales des facettes correspondantes, \theta_1, \theta_2, ..., \theta_6.
Le flux total sera donné par
\begin{align}
\Phi_E&=\Delta S_1 E \cos\theta_1+\Delta S_2 E \cos\theta_2+\Delta S_3 E \cos\theta_3+\Delta S_4 E \cos\theta_4+\Delta S_5 E \cos\theta_5+\Delta S_6 E \cos\theta_6\nonumber\
&=\sum_{i=1}^6E\Delta S_i\cos\theta_i.
\end{align}
Comme nous avons vu plus haut, le nombre de lignes de champs
partant d'une charge positive et arrivant sur une charge négative
sont proportionnelles à la charge. Ainsi le nombre net (la différence entre celle entrantes
et celles sortantes) de lignes
de champs pointant vers l'extérieur d'une surface fermée est proportionnel
à la charge à l'intérieur de la surface, Q_\mathrm{int}. La constante de
proportionnalité est 1/\epsilon_0. On a donc finalement

\sum_i E\Delta S_i\cos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.

En l'occurrence, on a aucune charge à l'intérieur du cube et on peut voir assez facilement
que dans le cas où E est homogène et aligné avec une face du cube, on a:

E\cos \pi + E\cos 0+ 4\cos\pi/2= -E+E=0.

En fait cette relation se généralise à n'importe quelle surface fermée.
Si on numérote les N facettes d'une surface fermée, \{\Delta S_i\}_{i=1}^N,
et l'angle entre la normale de la i-ème facette avec le champs E, \{\theta_i\}_{i=1}^N
on peut écrire la loi de Gauss

\sum_i^N E\Delta S_i\cos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.