[WIP] Les équations sont mal alignées

exercices/champs_electrique.md

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 # author:
 # - Orestis Malaspinas
+# - Michaël El Kharroubi (correction)
 title: Exercices électrostatique
 subtitle: Loi de Coulomb et champs électrique
 autoSectionLabels: true
@@ -57,4 +58,180 @@ uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs
 1. Que vaut le flux total à travers la surface du cube?
 2. Que vaut le flux à travers chaque surface du cube?
 
+# Correction {.unnumbered}
 
+## Ex 1: {.unnumbered}
+
+\begin{align*}
+e = 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg
+\\
+m = 10g = 10^{-2}kg
+\\
+Q = 1\mu C= 10^{-6}C
+\end{align*}
+
+Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ :
+
+\begin{align*}
+n = \frac{Q}{e}
+\end{align*}
+
+On sait que la masse perdue $m_{perdue}$ vaut :
+
+\begin{align*}
+m_{perdue}=m_e\cdot n
+\end{align*}
+
+Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire :
+
+\begin{align*}
+100\cdot(1-\frac{m-m_{perdue}}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-n\cdot m_e}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-\frac{m_e\cdot Q}{e}}{m})
+\end{align*}
+
+Ce qui nous donne :
+
+\begin{align*}
+100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\
+= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\%
+\end{align*}
+
+Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse.
+
+## Ex 2: {.unnumbered}
+
+
+\begin{align*}
+E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\
+Q_1=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\
+d=10cm=10^{-1}m
+\end{align*}
+
+
+Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition :
+
+\begin{align*}
+E=\sum_{i} E_i\\
+E = E_1+E_2
+\end{align*}
+
+On a donc :
+
+\begin{align*}
+E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\
+E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
+\end{align*}
+
+Ce qui nous donne :
+
+\begin{align*}
+E =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
+E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\
+E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\
+E=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\
+E=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}
+\end{align*}
+
+La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$.
+
+## Ex 3: {.unnumbered}
+
+
+\begin{align*}
+q_e=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
+a=100\frac{m}{s^2}\\
+F=Eq=m\cdot a
+\end{align*}
+
+
+Pour trouver la valeur de notre champs électrique, on doit déterminer la force subie par notre électron :
+
+\begin{align*}
+F=m_e\cdot a
+\end{align*}
+
+On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique :
+
+\begin{align*}
+F=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\
+E=\frac{m_e\cdot a}{q_e}
+\end{align*}
+
+
+Ce qui nous donne :
+
+\begin{align*}
+E=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\
+E=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C}
+\end{align*}
+
+
+## Ex 4: {.unnumbered}
+
+
+\begin{align*}
+E=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\
+E = E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\
+r_1 = \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r
+\end{align*}
+
+
+On souhaite connaître le rapport entre $Q_1$ et $Q_2$, on commence donc par poser l'équation suivante :
+
+\begin{align*}
+E = E_1 + E_2 = k\cdot \frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+k\cdot \frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}\\
+E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})
+\end{align*}
+
+On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne :
+
+\begin{align*}
+E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\
+0=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
+0=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
+0=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\
+0=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\
+0=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\
+-36\cdot Q_1=9\cdot Q_2\\
+\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}
+\end{align*}
+
+Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$.
+
+## Ex 5: {.unnumbered}
+
+
+\begin{align*}
+S_{face} = 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\
+E = 10^3\frac{N}{C}\\
+\Phi_E=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}
+\end{align*}
+
+
+Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles :
+
+\begin{align*}
+\theta_1 = 0\\
+\theta_2 = \frac{\pi}{2}\\
+\theta_3 = \pi\\
+\theta_4 = \frac{\pi}{2}\\
+\theta_5 = \frac{\pi}{2}\\
+\theta_6 = \frac{\pi}{2}
+\end{align*}
+
+Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces :
+
+\begin{align*}
+\Phi_{E_1} = ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_2} = ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_3} = ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_4} = ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_5} = ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_6} = ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
+\end{align*}
+
+En sommant on obtient, le flux total suivant :
+
+\begin{align*}
+\Phi_E=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\
+\Phi_E=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
+\end{align*}