03_integrales.md

Intégrales

Interprétation géométrique

Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une fonction f. La fonction f satisfait les hypothèses suivantes.

1. f(x) est bornée dans l’intervalle [a,b]\in{\real}.

2. f(x) est continue presque partout.

Nous définissions également l’infimum de f sur un intervalle [x_0,x_1], noté \inf\limits_{[x_0,x_1]} f(x) comme étant la plus grande valeur bornant par dessous toutes les valeurs prises par f(x) dans l’intervalle [x_0,x_1]. Le suprémum sur un intervalle [x_0,x_1], noté \sup\limits_{[x_0,x_1]} f(x) comme étant la plus petite valeur bornant par dessus toutes les valeurs prises par f(x) dans l’intervalle [x_0,x_1].

Finalement nous définissons une subdivision \Delta_n=\{a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_{n}=b\} est une suite finie contenant n+1 termes dans [a,b].

On peut à présent approximer l’aire sous la fonction f(x) dans l’intervalle [a,b] de plusieurs façons:

1. A^i(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i) comme étant l’aire inférieure.

2. A^s(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i) comme étant l’aire supérieure.

3. A^R(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\cdot (x_{i+1}-x_i), \xi_i\in [x_i,x_{i+1}]

1 et 2 sont les sommes de Darboux, 3 est une somme de Riemann qui, dépendant des choix des \xi_i, peut être égale à 1 ou à 2.

L’aire de sous la fonction f(x) est donnée par la limite pour n\rightarrow\infty de A^i ou A^s (si elle existe). Dans ce cas n\rightarrow\infty A^R (pris en sandwich entre A^i et A^n) nous donne aussi l'aire sous la fonction.

Remarque {-}

1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe de f.

2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.

Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}

Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si \lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.

Dans la formule \int_a^b f(x){\mathrm{d}}x, x est appelée variable d’intégration, a et b sont les bornes d’intégration. Pour des raisons de consistance dans les notations la variable d’intégration ne peut être désignée avec le même symbole qu’une des bornes d’intégration.

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Exemple (Intégration de Riemann) {-}

Intégrer de f(x)=x dans intervalle [0,1].

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