mise a jour tp et corrige exos

exercices/fourier_serie1.md

@@ -33,7 +33,7 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 Corrigé +.#
 
 Il est trivial de trouver les coefficients de la transformée de Fourier.
-On a $a_3=\sqrt{2}$, et $b_1=7$. Tous les autres coefficients sont nuls. La série de Fourier s'écrit donc
+On a $a_1=7$, et $b_3=-\sqrt{2}$. Tous les autres coefficients sont nuls. La série de Fourier s'écrit donc
 \begin{equation}
  f(x)=7\cos(x)-\sqrt{2}\sin(3x).
 \end{equation}
@@ -97,13 +97,13 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
 La fonction étant impaire tous les termes $b_j$ sont nuls. Pour les termes $a_j$, il faut intégrer deux fois par parties et on trouve
 $$
 a_j=\frac{4(1-(-1)^j)}{\pi j^3},
 $$
-si $j\neq 0$ et $a_0=0$.
+si $j\neq 0$ et $a_0=0$. -->
 
 Exercice +.#
 
@@ -112,7 +112,7 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
 \end{equation}
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
 Cette fonction étant impaire, nous avons que tous les $b_j$ sont nuls.
 En utilisant l'identité trigonométrique 
@@ -124,7 +124,7 @@ qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le f
 \begin{align}
 a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\
 &=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
-\end{align}
+\end{align} -->
 
 Exercice +.#
 
@@ -133,9 +133,9 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
 \end{equation}
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
-Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours).
+Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours). -->
 
 # Transformées de Fourier
 
@@ -150,7 +150,7 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
 On sait que la transformée de Fourier d'une fonction $f$ est donnée par
 $$
@@ -164,7 +164,7 @@ Par parties, on obtient
 \begin{align}
 \hat f(\omega)&=\left.(1+x)e^{-i\omega x}\right|_{-1}^0-\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^0e^{-i\omega x}\dd x+\left.(1-x)e^{-i\omega x}\right|_{0}^1+\frac{1}{i\omega}\int_{0}^1e^{-i\omega x}\dd x,\nonumber\\
 &=2-\frac{1}{\omega^2}(1-e^{i\omega})+\frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega}-1).
-\end{align}
+\end{align} -->
  
 Exercice +.#
 
@@ -179,9 +179,9 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
-Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s.
+Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s. -->
 
  
 # Transformées de Fourier discrète
@@ -190,7 +190,7 @@ Exercice +.#
 
 Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite $a=\{1, 0, 0, 1\}$.
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
@@ -206,13 +206,13 @@ Et ainsi de suite on obtient
 \hat f[1]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i/2}+f[2]e^{-\pi i}+f[3]e^{-3\pi i/2}=1+i,\\
 \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i}+f[2]e^{-2\pi i}+f[3]e^{-3\pi i}=0,\\
 \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{-3\pi i/2}+f[2]e^{-3\pi i}+f[3]e^{-9\pi i/2}=1-i.
-\end{align}
+\end{align} -->
  
 Exercice +.#
 
 Calculer la transformée de Fourier inverse discrète de la suite $b=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$.
 
-Corrigé +.#
+<!-- Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
@@ -228,4 +228,4 @@ Et ainsi de suite on obtient
 f[1]&=\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2}=2+i(-1-i)+(-i)(-1+i)=4,\\
 \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i}=2+(-1)(-1-i)-1(-1+i)=4,\\
 \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2}=2-i(-1-i)+i(-1+i)=0.
-\end{align}
\ No newline at end of file
+\end{align} -->
\ No newline at end of file

tpFourier/fourier2019/fourier.md

@@ -59,7 +59,7 @@ $$
 {\hat{f}}[k_1,k_2]=\sum_{n_1=0}^{N_1-1} e^{-\frac{2\pi i n_1 k_1}{N_1}}\left(\sum_{n_2=0}^{N_2-1} f[n_1,n_2] e^{-\frac{2\pi i n_2 k_2}{N_2}}\right).
 $$
 De cette formule, on peut déduire que faire la transformée de Fourier en deux dimensions
-n'est rien d'autre que faire la transformée de Fourier dans chacune des dimensions
+n'est rien d'autre que faire la transformée de Fourier uni-dimensionnelle dans chacune des dimensions
 séparément.
 
 De même la transformée de Fourier inverse à deux dimensions s'écrit
@@ -115,8 +115,8 @@ d'échantillonner
 $$
 f(t)=2.3\cdot \sin(2\pi t) + 0.1\cdot \sin(10\pi t),
 $$
-pour $t=[0,1]$. Calculez la transformée de Fourier de ce signal,
-puis mettez à zéro le pic correspondant à la plus haute fréquence dans le résultat obtenu.
+pour $t=[0,1]$. Quelle est la période de ce signal? Calculez la transformée de Fourier de ce signal,
+puis mettez à zéro le coefficient correspondant à la plus haute fréquence dans le résultat obtenu.
 Faites ensuite la transformée de Fourier inverse, du signal
 avec un seul des pics. Voilà, si tout s'est bien passé vous venez de
 filtrer la haute fréquence de votre signal.