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01_rappel.md

@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
 
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-#### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
+#### Exemple (Fonctions, généralités) #
 
 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
     $I$ $$\begin{aligned}
@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
 
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-#### Exemple (Fonctions) {-}
+#### Exemple (Fonctions) #
 
 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
     deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
 
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-#### Exemple (Fonction inverse) {-}
+#### Exemple (Fonction inverse) #
 
 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
     deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
 
 ## Domaine de définition
 
+---
 
-#### Définition (Domaine de définition) {-}
+#### Définition (Domaine de définition) #
 
 Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
 $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
 
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-#### Exemple (Domaine de définition) {-}
+---
+
+#### Exemple (Domaine de définition) #
 
 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
 
@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide  et soient $a$ et $b$ deux
 
 ### Limite
 
-#### Définition (Limite) {-}
+---
+
+#### Définition (Limite) #
 
 Pour $f$ définie en $D$,  on dit que $b$ est la
 limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
 
 $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+---
+
+#### Remarque #
 
 Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
 $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
 
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-#### Exemple (Limite) {-}
+---
+
+#### Exemple (Limite) #
 
 Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
 
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-#### Définition (Limite, asymptote) {-}
+#### Définition (Limite, asymptote) #
 
 Pour $f$ définie en $D$,
 on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
 
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-#### Exemple (Limite, asymptote) {-}
+#### Exemple (Limite, asymptote) #
 
 Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
 
@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$.
 Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
 sont égales.
 
-#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
+---
+
+#### Exemple (Limite à gauche/droite) #
 
 Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
 
+---
+
 ### Comportement asymptotique
 
 Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
 
 ## Continuité
 
-#### Définition (Continuité) {-}
+---
+
+#### Définition (Continuité) #
 
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
 $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
 
-#### Propriétés (Fonctions continues) {-}
+---
+
+---
+
+#### Propriétés (Fonctions continues) #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
 
@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
 
 4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
 
-#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
+---
+
+---
+
+#### Définition (Continuité sur un intervalle) #
 
 Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
 seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
 continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
 droite en $a$ et à gauche en $b$.
 
-#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
+---
+
+---
+
+#### Théorème (Valeurs intermédiaires) #
 
 Soit $f$ une fonction continue
 sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
 $f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
 Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
 
+---
+
 ## Dérivées
 
-#### Définition (Dérivée en un point) {-}
+---
+
+#### Définition (Dérivée en un point) #
 
 Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
 dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned}
 &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
 &\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
 
-#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
+---
+
+---
+
+#### Définition (Dérivée sur un intervalle) #
 
 Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
 la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
 point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
 
-#### Propriété {-}
+---
+
+---
+
+#### Propriété #
 
 Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
 
-#### Propriétés {-}
+---
+
+---
+
+#### Propriétés #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
 et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons
 
 6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
 
-#### Définition (Dérivée seconde) {-}
+---
+
+---
+
+#### Définition (Dérivée seconde) #
 
 Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
 appelée la dérivée seconde de $f$.
 
+---
+
 ### Variation des fonctions
 
-#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
+---
+
+#### Propriétés (Croissance/décroissance) #
 
 Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
 
@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
 
 3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
 
-#### Définition (Maximum/minimum local) {-}
+---
+
+---
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+#### Définition (Maximum/minimum local) #
 
 Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
 un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
 (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
 
-#### Propriété (Maximum/minimum) {-}
+---
+
+---
+
+#### Propriété (Maximum/minimum) #
 
 Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
 admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
 $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
 maximum ou un minimum de $f$.
 
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 ## Etude de fonction
 
 Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante