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@@ -1771,6 +1771,40 @@ Les coordonnées $(x,y)$ où $\vec \nabla f=\vec 0$ sont données par
 On a donc deux points $(x,y_{-})=(0,-1)$ et $(x,y_{+})=1$ qui satisfont $\vec\nabla f=0$.
 Essayons de connaître la nature de ces points. Sont-il des maxima, minima, ou des point-selle?
 
+Sur la @fig:cubic_multi, on voit que le point $(0, -1)$ est un point selle, et le point
+$(0,1)$ est un minimum. Nous allons à présent essayer de voir ce que cela veut dire mathématiquement
+sans avoir besoin de regarder le graphe de cette fonction.
+Inspirés par ce que nous savons des points critiques en une dimensions, nous allons étudier
+les deuxièmes dérivées 
+\begin{align}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=2,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=24y.
+\end{align}
+En substituant les valeur $(0, -1)$ et $(0, 1)$ dans les deuxièmes dérivées,
+on obtient
+\begin{align}
+&\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,-1)=2,\\
+&\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,-1)=0,\\
+&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,1)=24,\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,-1)=-24.
+\end{align}
+On voit ici, que pour les deux points $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0$, on a donc que
+dans la direction $x$ ces deux points sont des minimas. Mais cela ne suffit pas pour en faire 
+des minimas locaux. Il faut également étudier ce qui se passe dans la direction $y$. Dans ce 
+cas précis, on a qu'en $(0,1)$ nous avons une valeur positive (c'est donc un minimum) et en
+$(0,-1)$ la valeur est négative (c'est donc un maximum).
+
+Pour récapituler:
+
+- En $(0,1)$ c'est un minimum pour $x$ et un minimum pour $y$. Et donc c'est un minimum local.
+- En $(0,-1)$ c'est un minimum pour $x$ et un maximum pour $y$. Et donc c'est un point-selle.
+
+Globalement, pour avoir un min/max, il faut que les deuxièmes dérivées dans chacune des
+directions donnent la même interprétation pour pouvoir conclure à un minimum/maximum. Sinon
+c'est un point-selle.
+
+
+
 
 ### La descente de gradient