added saddle point

cours.md

@@ -1744,12 +1744,34 @@ $$
 f(x,y)=x^2-y^2.
 $$
 Bien que $\nabla f(0,0)=\vec 0$, nous voyons sur la @fig:selle que bien que nous ayons un minimum
-dans la direction $x$, nous avons un maximum dans la direction $y$. On se retrouve dans un cas où nous avons un point
-d'inflexion.
+dans la direction $x$, nous avons un maximum dans la direction $y$. On se retrouve dans un cas où nous avons un point-selle.
 
 Pour pouvoir en dire plus il nous faut étudier les deuxièmes dérivées de $f(x,y)$ comme pour
 le cas unidimensionnel.
 
+Prenons un exemple, où (voir @fig:cubic_multi pour voir à quoi elle ressemble)
+$$
+f(x,y)=x^2+4y^3-12y-2.
+$$
+
+![La surface $f(x,y)=x^2+4y^3-12y-2$.](figs/cubic_multi.svg){#fig:cubic_multi width="50%"}
+
+Le gradient de $f(x,y)$ est donné par
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}&=2x,\\
+\frac{\partial f}{\partial y}&=12y^2-12.
+\end{align}
+
+Les coordonnées $(x,y)$ où $\vec \nabla f=\vec 0$ sont données par
+\begin{align}
+2x=0\Leftrightarrow x = 0,\\
+12y^2-12=0\Leftrightarrow y_\pm=\pm 1.
+\end{align}
+
+On a donc deux points $(x,y_{-})=(0,-1)$ et $(x,y_{+})=1$ qui satisfont $\vec\nabla f=0$.
+Essayons de connaître la nature de ces points. Sont-il des maxima, minima, ou des point-selle?
+
+
 ### La descente de gradient
 
 Revenons à présent à l'optimisation d'une fonction de coût $f(\vec x)$. Pour simplifier considérons

scripts/gradients.m

 clear all
 clf
 
-tx = ty = linspace (-2, 2, 41)';
+tx = ty = linspace (-2, 2, 21)';
 [xx, yy] = meshgrid (tx, ty);
-tz = xx.^2 + yy.^2;
+% tz = xx.^2 + yy.^2;
+tz = xx.^2 + 4*yy.^3-12*yy-2;
 
-mesh(tx, ty, tz)
+surf(tx, ty, tz)
 
 hold on
 
-[x, y] = meshgrid (-2:0.2:2);
-h = quiver (x, y, 2*x, 2*y);
-set (h, "maxheadsize", 0.33);
+% [x, y] = meshgrid (-2:0.2:2);
+% h = quiver (x, y, 2*x, 2*y);
+% set (h, "maxheadsize", 0.33);
 
-hold off
+% hold off