On peut donc généraliser affiner cette formule en rajoutant des intervalles comme précédemment
...
...
@@ -899,6 +899,127 @@ Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 4, $f(x)=ax^3
Pour illustrer le concept d'équations différentielles, nous allons considérer pour commencer des systèmes
qui évoluent dans le temps (évolution d'une population, taux d'intérêts, circuits électriques, ...).
\subsection{Mouvement rectiligne uniforme}
Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d'une particle au cours du temps et
notons la $v(t)$. Nous savons également que la vitesse d'une particule est relié à l'évolution au cours du temps
de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$.
En particulier, nous avons que la vitesse n'est rien d'autre que la dérivée de la position. On peut onc écrire
une équation reliant la vitesse à la position
\begin{equation}
x'(t)=v(t).
\end{equation}
Cette équation est appelée \textit{équation différentielle}, car elle fait intervernir non seulement les fonctions $x(t)$ et $v(t)$, mais également
la dérivée de la fonction $x(t)$. Si maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons résoudre cette équation.
Comme le nom de la sous-section le laisse entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui a la particularité
de décrire le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante. On a donc
\begin{equation}
v(t)=v.
\end{equation}
Nous cherchons donc à résoudre l'équation différentielle
\begin{equation}
x'(t)=v.
\end{equation}
Ou en d'autres termes, nous cherchons la fonction dont la dérivée donne $C$\footnote{Cette formulation devrait vous rappeler ce que nous avons vu au chapitre précédent}.
Vous savez sans doute que l'ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente est
\begin{equation}
x(t)=v\cdot t+B,
\end{equation}
où $B$ est une constante arbitraire. On a donc la solution générale de cette équation différentielle qui n'est pas unique, mais qui donne une infinité
de solution (comme quand nous avons calculé la primitive d'une fonction au chapitre précédent). Afin de trouver une solution unique,
nous devons imposer une ``condition intiale'' à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition intiale
Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet dont on le connaît que l'accélération, $a(t)$, on peut également écrire une équation différentielle
qui décrirait l'évolution de la position de l'objet en fonction du temps. En effet, l'accélération d'un objet est la deuxième dérivée
de la position, soit
\begin{equation}
x''(t)=a(t),
\end{equation}
ou encore la première dérivée de la vitesse.
\begin{align}
v'(t)&=a(t),\\
x'(t)&=v(t).
\end{align}
Par simplicité supposons que l'accélération est constante, $a(t)=a$. On doit donc résoudre\footnote{On cherche la fonction dont la deuxième dérivée est une constante, $a$.}
\begin{equation}
x''(t)=a,
\end{equation}
ou
\begin{align}
v'(t)&=a,\\
x'(t)&=v(t).\label{eq_xpv}
\end{align}
Commen\c cons pas le système d'équations ci-dessus. On commence par résoudre
la première équation pour $v(t)$ et on a
\begin{equation}
v(t)=a\cdot t+C.
\end{equation}
En substituant ce résultat dans l'équation \eqref{eq_xpv}, on a
\begin{equation}
x'(t)=a\cdot t+C.
\end{equation}
On peut donc directement intégrer des deux côtés comme vu dans la sous-section précédente
\begin{align}
\int x'(t)\dd t&=\int a\cdot t+C\dd t,\nonumber\\
x(t)&=\frac{a}{2}\cdot t^2+C\cdot t + D.
\end{align}
On a donc que la position d'un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré est donné par une
parabole. Cette équation ci-dessus néanmoins a encore deux constante indéterminées. Pour les déterminer, on doit donc imposer
deux conditions intiales. Une possibilité est d'imposer une condition initiale par équation
