debuts du tp fourier

tpFourier/fourier2019/Makefile

+OPTIONS = --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=./default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c css/prism.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
+
+MD=$(wildcard *.md)
+HTML=$(MD:%.md=%.html)
+PDF=$(MD:%.md=%.pdf)
+
+
+all: $(HTML) $(PDF)
+
+%.pdf: %.md Makefile
+	sed -e 's/language-c/C/g' -e 's/language-bash/bash/g' $< > $*_tex.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+	rm $*_tex.md
+
+%.html: %.md Makefile
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $<
+
+clean:
+	rm -rf *.html *.pdf

tpFourier/fourier2019/MathJax.js

+var fileref=document.createElement('script')
+fileref.setAttribute("type","text/javascript")
+fileref.setAttribute("src", "https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML")
+document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(fileref)

tpFourier/fourier2019/default.latex

+\documentclass[$if(fontsize)$$fontsize$,$endif$$if(lang)$$babel-lang$,$endif$$if(papersize)$$papersize$paper,$endif$$for(classoption)$$classoption$$sep$,$endfor$]{$documentclass$}
+$if(beamerarticle)$
+\usepackage{beamerarticle} % needs to be loaded first
+$endif$
+$if(fontfamily)$
+\usepackage[$for(fontfamilyoptions)$$fontfamilyoptions$$sep$,$endfor$]{$fontfamily$}
+$else$
+\usepackage{lmodern}
+$endif$
+$if(linestretch)$
+\usepackage{setspace}
+\setstretch{$linestretch$}
+$endif$
+\usepackage{amssymb,amsmath,bm}
+\usepackage{ifxetex,ifluatex}
+\usepackage{fixltx2e} % provides \textsubscript
+\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
+  \usepackage[$if(fontenc)$$fontenc$$else$T1$endif$]{fontenc}
+  \usepackage[utf8]{inputenc}
+$if(euro)$
+  \usepackage{eurosym}
+$endif$
+\else % if luatex or xelatex
+$if(mathspec)$
+  \ifxetex
+    \usepackage{mathspec}
+  \else
+    \usepackage{unicode-math}
+  \fi
+$else$
+  \usepackage{unicode-math}
+$endif$
+  \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX,Scale=MatchLowercase}
+$for(fontfamilies)$
+  \newfontfamily{$fontfamilies.name$}[$fontfamilies.options$]{$fontfamilies.font$}
+$endfor$
+$if(euro)$
+  \newcommand{\euro}{€}
+$endif$
+$if(mainfont)$
+    \setmainfont[$for(mainfontoptions)$$mainfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mainfont$}
+$endif$
+$if(sansfont)$
+    \setsansfont[$for(sansfontoptions)$$sansfontoptions$$sep$,$endfor$]{$sansfont$}
+$endif$
+$if(monofont)$
+    \setmonofont[Mapping=tex-ansi$if(monofontoptions)$,$for(monofontoptions)$$monofontoptions$$sep$,$endfor$$endif$]{$monofont$}
+$endif$
+$if(mathfont)$
+$if(mathspec)$
+  \ifxetex
+    \setmathfont(Digits,Latin,Greek)[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
+  \else
+    \setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
+  \fi
+$else$
+  \setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
+$endif$
+$endif$
+$if(CJKmainfont)$
+    \usepackage{xeCJK}
+    \setCJKmainfont[$for(CJKoptions)$$CJKoptions$$sep$,$endfor$]{$CJKmainfont$}
+$endif$
+\fi
+% use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
+\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
+% use microtype if available
+\IfFileExists{microtype.sty}{%
+\usepackage[$for(microtypeoptions)$$microtypeoptions$$sep$,$endfor$]{microtype}
+\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
+}{}
+\PassOptionsToPackage{hyphens}{url} % url is loaded by hyperref
+$if(verbatim-in-note)$
+\usepackage{fancyvrb}
+$endif$
+\usepackage[unicode=true]{hyperref}
+$if(colorlinks)$
+\PassOptionsToPackage{usenames,dvipsnames}{color} % color is loaded by hyperref
+$endif$
+\hypersetup{
+$if(title-meta)$
+            pdftitle={$title-meta$},
+$endif$
+$if(author-meta)$
+            pdfauthor={$author-meta$},
+$endif$
+$if(keywords)$
+            pdfkeywords={$for(keywords)$$keywords$$sep$, $endfor$},
+$endif$
+$if(colorlinks)$
+            colorlinks=true,
+            linkcolor=$if(linkcolor)$$linkcolor$$else$Maroon$endif$,
+            citecolor=$if(citecolor)$$citecolor$$else$Blue$endif$,
+            urlcolor=$if(urlcolor)$$urlcolor$$else$Blue$endif$,
+$else$
+            pdfborder={0 0 0},
+$endif$
+            breaklinks=true}
+\urlstyle{same}  % don't use monospace font for urls
+$if(verbatim-in-note)$
+\VerbatimFootnotes % allows verbatim text in footnotes
+$endif$
+$if(geometry)$
+\usepackage[$for(geometry)$$geometry$$sep$,$endfor$]{geometry}
+$endif$
+$if(lang)$
+\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
+  \usepackage[shorthands=off,$for(babel-otherlangs)$$babel-otherlangs$,$endfor$main=$babel-lang$]{babel}
+$if(babel-newcommands)$
+  $babel-newcommands$
+$endif$
+\else
+  \usepackage{polyglossia}
+  \setmainlanguage[$polyglossia-lang.options$]{$polyglossia-lang.name$}
+$for(polyglossia-otherlangs)$
+  \setotherlanguage[$polyglossia-otherlangs.options$]{$polyglossia-otherlangs.name$}
+$endfor$
+\fi
+$endif$
+$if(natbib)$
+\usepackage{natbib}
+\bibliographystyle{$if(biblio-style)$$biblio-style$$else$plainnat$endif$}
+$endif$
+$if(biblatex)$
+\usepackage[$if(biblio-style)$style=$biblio-style$,$endif$$for(biblatexoptions)$$biblatexoptions$$sep$,$endfor$]{biblatex}
+$for(bibliography)$
+\addbibresource{$bibliography$}
+$endfor$
+$endif$
+$if(listings)$
+\usepackage{listings}
+$endif$
+$if(lhs)$
+\lstnewenvironment{code}{\lstset{language=Haskell,basicstyle=\small\ttfamily}}{}
+$endif$
+$if(highlighting-macros)$
+$highlighting-macros$
+$endif$
+$if(tables)$
+\usepackage{longtable,booktabs}
+% Fix footnotes in tables (requires footnote package)
+\IfFileExists{footnote.sty}{\usepackage{footnote}\makesavenoteenv{long table}}{}
+$endif$
+$if(graphics)$
+\usepackage{graphicx,grffile}
+\makeatletter
+\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
+\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
+\makeatother
+% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
+% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
+% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
+\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
+$endif$
+$if(links-as-notes)$
+% Make links footnotes instead of hotlinks:
+\renewcommand{\href}[2]{#2\footnote{\url{#1}}}
+$endif$
+$if(strikeout)$
+\usepackage[normalem]{ulem}
+% avoid problems with \sout in headers with hyperref:
+\pdfstringdefDisableCommands{\renewcommand{\sout}{}}
+$endif$
+$if(indent)$
+$else$
+\IfFileExists{parskip.sty}{%
+\usepackage{parskip}
+}{% else
+\setlength{\parindent}{0pt}
+\setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}
+}
+$endif$
+\setlength{\emergencystretch}{3em}  % prevent overfull lines
+\providecommand{\tightlist}{%
+  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
+$if(numbersections)$
+\setcounter{secnumdepth}{$if(secnumdepth)$$secnumdepth$$else$5$endif$}
+$else$
+\setcounter{secnumdepth}{0}
+$endif$
+$if(subparagraph)$
+$else$
+% Redefines (sub)paragraphs to behave more like sections
+\ifx\paragraph\undefined\else
+\let\oldparagraph\paragraph
+\renewcommand{\paragraph}[1]{\oldparagraph{#1}\mbox{}}
+\fi
+\ifx\subparagraph\undefined\else
+\let\oldsubparagraph\subparagraph
+\renewcommand{\subparagraph}[1]{\oldsubparagraph{#1}\mbox{}}
+\fi
+$endif$
+$if(dir)$
+\ifxetex
+  % load bidi as late as possible as it modifies e.g. graphicx
+  $if(latex-dir-rtl)$
+  \usepackage[RTLdocument]{bidi}
+  $else$
+  \usepackage{bidi}
+  $endif$
+\fi
+\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
+  \TeXXeTstate=1
+  \newcommand{\RL}[1]{\beginR #1\endR}
+  \newcommand{\LR}[1]{\beginL #1\endL}
+  \newenvironment{RTL}{\beginR}{\endR}
+  \newenvironment{LTR}{\beginL}{\endL}
+\fi
+$endif$
+
+% set default figure placement to htbp
+\makeatletter
+\def\fps@figure{htbp}
+\makeatother
+
+$for(header-includes)$
+$header-includes$
+$endfor$
+
+$if(title)$
+\title{$title$$if(thanks)$\thanks{$thanks$}$endif$}
+$endif$
+$if(subtitle)$
+\providecommand{\subtitle}[1]{}
+\subtitle{$subtitle$}
+$endif$
+$if(author)$
+\author{$for(author)$$author$$sep$ \and $endfor$}
+$endif$
+$if(institute)$
+\providecommand{\institute}[1]{}
+\institute{$for(institute)$$institute$$sep$ \and $endfor$}
+$endif$
+\date{$date$}
+
+\begin{document}
+$if(title)$
+\maketitle
+$endif$
+$if(abstract)$
+\begin{abstract}
+$abstract$
+\end{abstract}
+$endif$
+
+$for(include-before)$
+$include-before$
+
+$endfor$
+$if(toc)$
+{
+$if(colorlinks)$
+\hypersetup{linkcolor=$if(toccolor)$$toccolor$$else$black$endif$}
+$endif$
+\setcounter{tocdepth}{$toc-depth$}
+\tableofcontents
+}
+$endif$
+$if(lot)$
+\listoftables
+$endif$
+$if(lof)$
+\listoffigures
+$endif$
+$body$
+
+$if(natbib)$
+$if(bibliography)$
+$if(biblio-title)$
+$if(book-class)$
+\renewcommand\bibname{$biblio-title$}
+$else$
+\renewcommand\refname{$biblio-title$}
+$endif$
+$endif$
+\bibliography{$for(bibliography)$$bibliography$$sep$,$endfor$}
+
+$endif$
+$endif$
+$if(biblatex)$
+\printbibliography$if(biblio-title)$[title=$biblio-title$]$endif$
+
+$endif$
+$for(include-after)$
+$include-after$
+
+$endfor$
+\end{document}

tpFourier/fourier2019/fourier.md

+---
+author:
+- Mathématiques en technologie de l'information
+title: Travail pratique - Les transformées de Fourier
+autoSectionLabels: false
+autoEqnLabels: true
+eqnPrefix:
+    - "éq."
+    - "éqs."
+chapters: true
+numberSections: false
+chaptersDepth: 1
+sectionsDepth: 3
+lang: fr
+documentclass: article
+papersize: A4
+cref: false
+urlcolor: blue
+toc: false
+include-before: <script src="css/prism.js"></script>
+---
+\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
+\renewcommand{\natural}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\complex}{\mathbb{C}}
+
+# Objectif
+
+Implémenter de façon naïve les transformées de Fourier discrètes
+en deux dimensions et comprendre leur utilité en traitement d'image.
+Puis comparer les performances de votre implémentation avec
+cellee de la librairie `numpy`.
+
+# Les transformées de Fourier en plusieurs dimensions
+
+Nous avons vu pendant le cours la définition de la transformée de Fourier discrète
+en une dimension donc nous n'allons pas trop insister sur le sujet ici
+mais reproduire le résulta principal.
+
+Soit un signal $f[n]$ discret et de longueur $N$ ($n$ va de $0$ à $N-1$),
+nous pouvons écrire sa transformée, $\hat{f}[k]$ ($k$ allant de $0,..,N-1$) de Fourier comme[^1]
+$$
+{\hat{f}}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\frac{2\pi i n k}{N}}.
+$$
+A l'inverse, on peut calculer la transformées de Fourier discrète inverse de $\hat{f}[k]$ comme
+$$
+f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},
+$$
+ce qui permet de déterminer le signal d'origine à partir de sa transformée de Fourier.
+
+On peut généraliser la transformée de Fourier pour des signaux en plus d'une dimension.
+Ici, on va s'intéresser aux signaux bidimensionnels. Un tel signal peut représenter
+par exemple les niveaux de gris d'une image. On a que la transformée de Fourier
+pour un signal qui dépend de deux coordonnées, $f[n_1,n_2]$, $n_1=0,..,N_1-1$, $n_2=0,..,N_2-1$,
+a une transformée de Fourier discrète, $\hat{f}[k_1,k_2]$, $k_1=0,..,N_1-1$ et $k_2=0,..,N_2-1$, donnée par
+$$
+{\hat{f}}[k_1,k_2]=\sum_{n_1=0}^{N_1-1} e^{-\frac{2\pi i n_1 k_1}{N_1}}\left(\sum_{n_2=0}^{N_2-1} f[n_1,n_2] e^{-\frac{2\pi i n_2 k_2}{N_2}}\right).
+$$
+De cette formule, on peut déduire que faire la transformée de Fourier en deux dimensions
+n'est rien d'autre que faire la transformée de Fourier dans chacune des dimensions
+séparément.
+
+De même la transformée de Fourier inverse à deux dimensions s'écrit
+$$
+f[n_1,n_2]=\sum_{k_1=0}^{N_1-1} e^{\frac{2\pi i n_1 k_1}{N_1}}\left(\sum_{k_2=0}^{N_2-1} {\hat{f}}[k_1,k_2] e^{\frac{2\pi i n_2 k_2}{N_2}}\right).
+$$
+
+# Travail à réaliser
+
+# Conseils
+
+[^1]: On représente $f[n]$ et $\hat{f}[k]$ comme des listes (ou vecteurs) de longueur $N$.
\ No newline at end of file