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...@@ -222,7 +222,7 @@ avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que ...@@ -222,7 +222,7 @@ avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
\begin{equation} \begin{equation}
\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}. \log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.
\end{equation} \end{equation}
La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge vite vers une valeurs finie et on peut faire l'approximation La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge vite vers une valeur finie et on peut faire l'approximation
\begin{equation} \begin{equation}
\log(n)\cong(p-1)\log(10), \log(n)\cong(p-1)\log(10),
\end{equation} \end{equation}
...@@ -528,7 +528,7 @@ On a ...@@ -528,7 +528,7 @@ On a
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item La dérivée et l'intégrale ``s'annulent'' \item La dérivée et l'intégrale ``s'annulent''
\begin{equation} \begin{equation}
\left[\int_a^x f(y)\dd y\right]'=f(x), \quad x\in D. \left(\int_a^x f(x)\dd x\right)'=\left(F(x)-F(a)\right)'=F'(x)-\left(F(a)\right)'=F'(x)=f(x).
\end{equation} \end{equation}
\item La fonction $h=f+g$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a \item La fonction $h=f+g$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -790,7 +790,7 @@ Dans ce cas, on va approximer l'intégrale et donc commettre une erreur. ...@@ -790,7 +790,7 @@ Dans ce cas, on va approximer l'intégrale et donc commettre une erreur.
Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$, Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$,
et approximer l'intégrale par une somme finie et approximer l'intégrale par une somme finie
\begin{equation} \begin{equation}
\int_a^bf(x)\dd x=\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i, \int_a^bf(x)\dd x=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,
\end{equation} \end{equation}
où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d'intégration où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d'intégration
que nous allons utiliser, $E$ est l'erreur commise par l'intégration numérique et va dépendre des bornes d'intégration, que nous allons utiliser, $E$ est l'erreur commise par l'intégration numérique et va dépendre des bornes d'intégration,
...@@ -823,7 +823,7 @@ définir un critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une ...@@ -823,7 +823,7 @@ définir un critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une
Si nous notons $I(N,a,b,f,g)$ l'approximation du calcul de l'intégrale entre $a$ et $b$ de la fonction $f$ Si nous notons $I(N,a,b,f,g)$ l'approximation du calcul de l'intégrale entre $a$ et $b$ de la fonction $f$
avec une résolution $N$ pour la méthode d'intégration $g$ avec une résolution $N$ pour la méthode d'intégration $g$
\begin{equation} \begin{equation}
I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i, I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,
\end{equation} \end{equation}
où $g_i$ est encore à préciser. Afin de déterminer si le nombre de points que nous avons choisi est suffisant, où $g_i$ est encore à préciser. Afin de déterminer si le nombre de points que nous avons choisi est suffisant,
après avoir évalué $I(N,a,b,f,g)$, nous évaluons $I(2\cdot N,a,b,f,g)$. En d'autres termes nous évaluons l'intégrales de la même fonction avec la même après avoir évalué $I(N,a,b,f,g)$, nous évaluons $I(2\cdot N,a,b,f,g)$. En d'autres termes nous évaluons l'intégrales de la même fonction avec la même
...@@ -851,7 +851,7 @@ Si la fonction à intégrer est une constante $f(x)=c$, alors l'intégration est ...@@ -851,7 +851,7 @@ Si la fonction à intégrer est une constante $f(x)=c$, alors l'intégration est
Dans les deux cas ci-dessus on a évalué la fonction sur une des bornes. On peut améliorer la précision Dans les deux cas ci-dessus on a évalué la fonction sur une des bornes. On peut améliorer la précision
en utilisant le ``point du milieu'' pour évaluer l'aire du rectangle. L'approximation devient alors en utilisant le ``point du milieu'' pour évaluer l'aire du rectangle. L'approximation devient alors
\begin{align} \begin{align}
\int_a^bf(x)\dd x&\cong\sum_{i=1}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2). \int_a^bf(x)\dd x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2).
\end{align} \end{align}
Cette astuce permet d'améliorer la précision de la méthode à très faible coût. Cette astuce permet d'améliorer la précision de la méthode à très faible coût.
En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée et devient d'ordre 2. En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée et devient d'ordre 2.
...@@ -1294,9 +1294,9 @@ Nous voyons que ce système est d'ordre 1, mais que nous avons augmenté le nomb ...@@ -1294,9 +1294,9 @@ Nous voyons que ce système est d'ordre 1, mais que nous avons augmenté le nomb
Cette propriété peut se généraliser de la façon suivante. Cette propriété peut se généraliser de la façon suivante.
Soit une équation différentielle d'ordre $n$ Soit une équation différentielle d'ordre $n$
\begin{equation} \begin{equation}
F(x,y,y',...,y^{(n)}=0. F(x,y,y',...,y^{(n)})=0.
\end{equation} \end{equation}
Nous pouvons définir $z_i=y^{(i-1})$ et on aura donc que $z_{i+1}=z_i'$. On peut donc Nous pouvons définir $z_i=y^{(i-1)}$ et on aura donc que $z_{i+1}=z_i'$. On peut donc
réécrire l'équation différentielle d'ordre $n$ comme étant réécrire l'équation différentielle d'ordre $n$ comme étant
\begin{align} \begin{align}
&z_{i+1}=z_i',\ i=1,...,n-1\\ &z_{i+1}=z_i',\ i=1,...,n-1\\
...@@ -2018,7 +2018,7 @@ Sur ces nombres on peut définir à nouveau l'addition, la soustraction, la mult ...@@ -2018,7 +2018,7 @@ Sur ces nombres on peut définir à nouveau l'addition, la soustraction, la mult
\end{align} \end{align}
On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels sous la forme On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels sous la forme
\begin{align} \begin{align}
&(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d),\label{eq_add}\\ &(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\label{eq_add}\\
&(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).\label{eq_mult} &(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).\label{eq_mult}
\end{align} \end{align}
On voit assez facilement que l'addition sur $\real^2$ a une forme très similaire On voit assez facilement que l'addition sur $\real^2$ a une forme très similaire
...@@ -2098,7 +2098,7 @@ faire la somme des vecteurs représentant chacun des nombres complexes à sommer ...@@ -2098,7 +2098,7 @@ faire la somme des vecteurs représentant chacun des nombres complexes à sommer
\begin{center} \begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figs/complexPlaneSum.pdf} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figs/complexPlaneSum.pdf}
\end{center} \end{center}
\caption{Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$. Le résultat est donné par $z_3=a+b+i(c+d)$.}\label{fig_complexPlaneSum} \caption{Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$. Le résultat est donné par $z_3=a+c+i(b+d)$.}\label{fig_complexPlaneSum}
\end{figure} \end{figure}
Pour la multiplication cela s'avère un peu plus difficile à interpréter. Pour cela Pour la multiplication cela s'avère un peu plus difficile à interpréter. Pour cela
...@@ -2173,10 +2173,10 @@ de module égal, mais ...@@ -2173,10 +2173,10 @@ de module égal, mais
d'argument opposé. En d'autres termes, si $z=re^{i\vartheta}$, alors $\zbar=re^{-i\vartheta}$. d'argument opposé. En d'autres termes, si $z=re^{i\vartheta}$, alors $\zbar=re^{-i\vartheta}$.
On peut également écrire le module d'un nombre réel à l'aide de la notation On peut également écrire le module d'un nombre complexe à l'aide de la notation
du complexe conjugué. Il est donné par du complexe conjugué. Il est donné par
\begin{equation} \begin{equation}
|\zbar|=\sqrt{z\zbar}. |z|=\sqrt{z\zbar}.
\end{equation} \end{equation}
Finalement, on peut également exprimer les parties réelle et imaginaires d'un nombre complexe à l'aide Finalement, on peut également exprimer les parties réelle et imaginaires d'un nombre complexe à l'aide
de la notation du complexe conjugué de la notation du complexe conjugué
...@@ -2261,7 +2261,7 @@ Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement. ...@@ -2261,7 +2261,7 @@ Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement.
\item Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre espace vectoriel \item Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre espace vectoriel
un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus jusqu'ici. Il s'agit de l'espace des fonctions, ou espace fonctionnel. un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus jusqu'ici. Il s'agit de l'espace des fonctions, ou espace fonctionnel.
Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme un espace vectoriel dans $E$ avec l'addition et la Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme un espace vectoriel dans $E$ avec l'addition et la
multiplication par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $f:W\rightarrow V$, avec multiplication par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $g:W\rightarrow V$, avec
$\alpha\in E$, alors $\alpha\in E$, alors
\begin{align} \begin{align}
&(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\ &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
...@@ -2422,8 +2422,8 @@ de fréquence $\nu=1/T$. Ce genre de fonction a la propriété suivante ...@@ -2422,8 +2422,8 @@ de fréquence $\nu=1/T$. Ce genre de fonction a la propriété suivante
f(t+T)=f(t),\quad \forall t. f(t+T)=f(t),\quad \forall t.
\end{equation} \end{equation}
Nous cherchons à décomposer $f$ en un ensemble potentiellement infini de fonctions périodiques. Notons Nous cherchons à décomposer $f$ en un ensemble potentiellement infini de fonctions périodiques. Notons
cet ensemble de fonctions $\{g_j\}_{0=1}^\infty$, où $g_j$ est une fonction périodique. En fait on cherche une décomposition cet ensemble de fonctions $\{g_j\}_{j=0}^\infty$, où $g_j$ est une fonction périodique. En fait on cherche une décomposition
où pour un ensemble unique de $\{\alpha_j\}_{i=0}^\infty$ où pour un ensemble unique de $\{\alpha_j\}_{j=0}^\infty$
\begin{equation} \begin{equation}
f(t)=\sum_{j=0}^\infty \alpha_j g_j(t). f(t)=\sum_{j=0}^\infty \alpha_j g_j(t).
\end{equation} \end{equation}
...@@ -2432,7 +2432,7 @@ où les $g_j$ sont les vecteurs de la base et les $\alpha_j$ sont les coordonné ...@@ -2432,7 +2432,7 @@ où les $g_j$ sont les vecteurs de la base et les $\alpha_j$ sont les coordonné
La fonction de départ $f$ ayant une période $T$, on a obligatoirement que les fonctions $g_j$ ont une période La fonction de départ $f$ ayant une période $T$, on a obligatoirement que les fonctions $g_j$ ont une période
qui doit être une fraction entière de la période, $T/j$. Ces fonctions $g_j(t)$ peuvent en général qui doit être une fraction entière de la période, $T/j$. Ces fonctions $g_j(t)$ peuvent en général
avoir une forme quelconque, avec l'unique contrainte qu'elles sont périodiques avec période $T/i$. avoir une forme quelconque, avec l'unique contrainte qu'elles sont périodiques avec période $T/j$.
\c Ca pourrait être un signal carré, triangulaire, etc. Dans les cas qui nous intéresse, on a un choix \c Ca pourrait être un signal carré, triangulaire, etc. Dans les cas qui nous intéresse, on a un choix
naturel qui s'impose comme fonctions périodiques: les sinus et cosinus. naturel qui s'impose comme fonctions périodiques: les sinus et cosinus.
...@@ -2497,8 +2497,8 @@ En particulier si $j=0$, on a ...@@ -2497,8 +2497,8 @@ En particulier si $j=0$, on a
\begin{equation} \begin{equation}
a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t. a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
\end{equation} \end{equation}
On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela On constate que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours permet d'approximer des fonctions dont la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
des moyennes nulles). des moyennes nulles).
Les coefficients $a_j,b_j$ peuvent être calculés directement à partir de $f(t)$, Les coefficients $a_j,b_j$ peuvent être calculés directement à partir de $f(t)$,
...@@ -2524,7 +2524,7 @@ entre $0$ et $T$, on obtient ...@@ -2524,7 +2524,7 @@ entre $0$ et $T$, on obtient
\end{align} \end{align}
où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
\begin{equation} \begin{equation}
\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} \delta_{jk}=\left\{\begin{array}{ll}
$1,$&$\mbox{ si }j=k$\\ $1,$&$\mbox{ si }j=k$\\
$0,$&$\mbox{ sinon.}$ $0,$&$\mbox{ sinon.}$
\end{array}\right. \end{array}\right.
...@@ -2713,7 +2713,7 @@ la transformée de Fourier sera périodique, soit ...@@ -2713,7 +2713,7 @@ la transformée de Fourier sera périodique, soit
\end{equation} \end{equation}
Nous démontrons cette relation par la définition de la TFTD Nous démontrons cette relation par la définition de la TFTD
\begin{equation} \begin{equation}
\fh(\omega+2\pi)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i(\omega+2\pi) n}=\underbrace{e^{-i2\pi n}}_{=1}\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}=\fh(\omega). \fh(\omega+2\pi)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i(\omega+2\pi) n}=\underbrace{e^{-i2\pi}}_{=1}\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}=\fh(\omega).
\end{equation} \end{equation}
D'une certaine façon nous voyons que nous avons une similarité entre la transformée de Fourier à temps discret et les séries de Fourier. D'une certaine façon nous voyons que nous avons une similarité entre la transformée de Fourier à temps discret et les séries de Fourier.
Cette similarité va devenir plus claire dans ce qui suit. Cette similarité va devenir plus claire dans ce qui suit.
...@@ -2977,7 +2977,7 @@ que la fréquence de Nyquist de notre signal, on verra apparaître le phénomèn ...@@ -2977,7 +2977,7 @@ que la fréquence de Nyquist de notre signal, on verra apparaître le phénomèn
\section{Introduction à la statistique descriptive} \section{Introduction à la statistique descriptive}
En statistique, une \textit{population} est un ensemble d'objets (d'individus) possédants un ou plusieurs \textit{caractères} communs. En statistique, une \textit{population} est un ensemble d'objets (d'individus) possédant un ou plusieurs \textit{caractères} communs.
L'étude des caractères d'une population a pour but de révéler des tendances au sein de la population. Ces études sont particulièrement L'étude des caractères d'une population a pour but de révéler des tendances au sein de la population. Ces études sont particulièrement
intéressantes quand le nombre d'individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être analysé en entier. On prélève alors un échantillon intéressantes quand le nombre d'individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être analysé en entier. On prélève alors un échantillon
représentatif de notre population au hasard représentatif de notre population au hasard
...@@ -2985,7 +2985,7 @@ et on mène l'analyse statistique sur ce sous ensemble. Les éventuelles conclus ...@@ -2985,7 +2985,7 @@ et on mène l'analyse statistique sur ce sous ensemble. Les éventuelles conclus
à l'ensemble de la population. Grâce au calcul de probabilité nous pourrons alors avoir une confiance plus ou moins grande dans les conclusions à l'ensemble de la population. Grâce au calcul de probabilité nous pourrons alors avoir une confiance plus ou moins grande dans les conclusions
tirées en fonction de la taille de l'échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la confiance dans les résultats sera élevée. tirées en fonction de la taille de l'échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la confiance dans les résultats sera élevée.
Un exemple de ce genre d'étude qui est très à la mode ces temps est le sondages (concernant le résultats d'élections ou de votations). Un exemple de ce genre d'étude qui est très à la mode ces temps est le sondage (concernant le résultat d'élections ou de votations).
Les sondeurs tentent en questionnant un sous-ensemble Les sondeurs tentent en questionnant un sous-ensemble
d'environ 1000 d'électeurs d'un pays (citoyens de plus de 18, moitié d'hommes et de femmes plus ou moins, ...) de déterminer d'environ 1000 d'électeurs d'un pays (citoyens de plus de 18, moitié d'hommes et de femmes plus ou moins, ...) de déterminer
les résultats d'élections ou de votations où participeront des millions d'électeurs potentiels. Il faut avouer que la tâche semble pour les résultats d'élections ou de votations où participeront des millions d'électeurs potentiels. Il faut avouer que la tâche semble pour
...@@ -3112,7 +3112,7 @@ Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par ...@@ -3112,7 +3112,7 @@ Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
\hline \hline
60000 & 5 & $5/61\cong0.081967$ \\ 60000 & 5 & $5/61\cong0.081967$ \\
\hline \hline
1000000 & 1 & $1/61\cong0.19568$ \\ 1000000 & 1 & $1/61\cong0.016393$ \\
\hline \hline
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
...@@ -3175,9 +3175,9 @@ qui présentent une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondant ...@@ -3175,9 +3175,9 @@ qui présentent une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondant
\hline \hline
50000 & 20 & $20/61\cong0.327869$ & $(20+35)/61\cong0.90164$\\ 50000 & 20 & $20/61\cong0.327869$ & $(20+35)/61\cong0.90164$\\
\hline \hline
60000 & 5 & $5/61\cong0.081967$ & $(20+35+5+1)/61\cong0.98361$\\ 60000 & 5 & $5/61\cong0.081967$ & $(20+35+5)/61\cong0.98361$\\
\hline \hline
1000000 & 1 & $1/61\cong0.19568$ & $(20+35+5+1)/61=1$\\ 1000000 & 1 & $1/61\cong0.016393$ & $(20+35+5+1)/61=1$\\
\hline \hline
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
...@@ -3272,7 +3272,7 @@ Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance ...@@ -3272,7 +3272,7 @@ Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance
Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne. Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.
Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien. Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien.
On peut donc s'intéresser plutôt à la moyenne de l'écart quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et donc la moyenne sera On peut donc s'intéresser plutôt à la moyenne de l'écart quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et donc la moyenne sera
de cette écart quadratique aura toujours une valeurs qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si de cette écart quadratique aura toujours une valeur qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)\footnote{on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela est moins pratique à étudier théoriquement.}. $x_i-\bar{x}=0,\forall i$)\footnote{on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela est moins pratique à étudier théoriquement.}.
On définit donc la \textit{variance}, $v$, comme étant la moyenne des écarts quadratiques On définit donc la \textit{variance}, $v$, comme étant la moyenne des écarts quadratiques
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -3319,7 +3319,7 @@ on peut définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et $\alpha_i\in[0,1 ...@@ -3319,7 +3319,7 @@ on peut définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et $\alpha_i\in[0,1
\begin{equation} \begin{equation}
F(Q_i)=\alpha_i. F(Q_i)=\alpha_i.
\end{equation} \end{equation}
En d'autres termes $Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$. $Q_i$ correspond donc au nombre d'individus dons la fréquence cumulée est de $\alpha_i$. En d'autres termes $Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$. $Q_i$ correspond donc au nombre d'individus dont la fréquence cumulée est de $\alpha_i$.
En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors $Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d'avoir $Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et $Q_3=0.75$, En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors $Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d'avoir $Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et $Q_3=0.75$,
le nombre d'individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par le nombre d'individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -3363,14 +3363,14 @@ Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événemen ...@@ -3363,14 +3363,14 @@ Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événemen
\end{definition} \end{definition}
Le calcul des \textit{probabilités} de réalisation de certains événement est reliée à la \textit{fréquence} Le calcul des \textit{probabilités} de réalisation de certains événement est reliée à la \textit{fréquence}
que nous avons indroduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$. que nous avons introduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$.
On effectue une $N$ expériences, donc $\Omega$ est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu'on réalise $A$, $K$ fois et $B$, $M$ fois. On effectue une $N$ expériences, donc $\Omega$ est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu'on réalise $A$, $K$ fois et $B$, $M$ fois.
On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et $\Omega$ se réalisent On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et $\Omega$ se réalisent
\begin{align} \begin{align}
f(A)&=\frac{K}{N},\\ f(A)&=\frac{K}{N},\\
f(B)&=\frac{M}{N},\\ f(B)&=\frac{M}{N},\\
f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\ f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
f(A\cap B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B). f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).
\end{align} \end{align}
Les \textit{probabilités} de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le passage à la limite Les \textit{probabilités} de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le passage à la limite
$N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et $N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
...@@ -3378,7 +3378,7 @@ $N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et ...@@ -3378,7 +3378,7 @@ $N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\ p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
p(\Omega)&=1,\\ p(\Omega)&=1,\\
p(A\cap B)&=p(A)+p(B). p(A\cup B)&=p(A)+p(B).
\end{align} \end{align}
Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$. Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.
...@@ -3482,7 +3482,7 @@ p(A)+p(\bar A)=1. ...@@ -3482,7 +3482,7 @@ p(A)+p(\bar A)=1.
\end{equation} \end{equation}
On en déduit que On en déduit que
\begin{equation} \begin{equation}
p(\bar A)=1-p(\bar A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. p(A)=1-p(\bar A)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
\end{equation} \end{equation}
Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$ Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -3658,8 +3658,8 @@ On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les résultats possible pour ...@@ -3658,8 +3658,8 @@ On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les résultats possible pour
\subsection{Tirages multiples} \subsection{Tirages multiples}
Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. Jusqu'ici on a lancé le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique.
A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilités d'obtenir des séquences
de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement. de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont
successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de
...@@ -3668,7 +3668,7 @@ cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun ...@@ -3668,7 +3668,7 @@ cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun
\Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}. \Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.
\end{equation} \end{equation}
Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage
a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas. a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples où cela n'est pas le cas.
On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$. On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$.
...@@ -3845,7 +3845,7 @@ On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabil ...@@ -3845,7 +3845,7 @@ On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabil
une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance
(ce qui n'est pas le cas du lotto). (ce qui n'est pas le cas du lotto).
Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial. Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est primordial.
En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}. En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}.
\begin{figure}[htp] \begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf}
...@@ -3856,7 +3856,7 @@ Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2} ...@@ -3856,7 +3856,7 @@ Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf}
\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2} \caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2}
\end{figure} \end{figure}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi lesquels choisir
(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}). (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}).
\begin{figure}[htp] \begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf}
...@@ -3876,22 +3876,22 @@ On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de ...@@ -3876,22 +3876,22 @@ On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
\end{equation} \end{equation}
A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer
ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmi
$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5. $6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmi 5.
Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$. Les deux probabilités sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
\begin{exercices} \begin{exercices}
\hfill\break \hfill\break
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles. \item Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmi 11 possibles.
Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage. Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
\item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de \item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmi 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmi 6. Calculez la probabilité de
gagner au swiss lotto.. gagner au swiss lotto.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{exercices} \end{exercices}
\section{Quelques exercices} \section{Quelques exercices}
Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise Afin de continuer avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices. de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise. \item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
...@@ -3919,7 +3919,7 @@ dans la boîte $A$, $B$ ou $C$. ...@@ -3919,7 +3919,7 @@ dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
est de $p(G)=0.514$. est de $p(G)=0.514$.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille. \item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe. \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés. \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{enumerate} \end{enumerate}
...@@ -3970,7 +3970,7 @@ Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus a ...@@ -3970,7 +3970,7 @@ Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus a
Prenons ces trois questions une par une Prenons ces trois questions une par une
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun \item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun
des événement de l'univerrs étants équiprobables on a des événements de l'univers étants équiprobables on a
\begin{equation} \begin{equation}
p(X=1)=p(A)=1/2. p(X=1)=p(A)=1/2.
\end{equation} \end{equation}
...@@ -3978,7 +3978,7 @@ Prenons ces trois questions une par une ...@@ -3978,7 +3978,7 @@ Prenons ces trois questions une par une
\begin{equation} \begin{equation}
p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}. p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.
\end{equation} \end{equation}
\item De façon similaire les trois énénements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc \item De façon similaire les trois événements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
\begin{equation} \begin{equation}
p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}. p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.
\end{equation} \end{equation}
...@@ -3990,7 +3990,7 @@ est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préim ...@@ -3990,7 +3990,7 @@ est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préim
On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$. On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$.
\begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la \begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la
préimage de $X$ sur tout intervale, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur préimage de $X$ sur tout intervalle, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur
dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$ dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$
\begin{equation} \begin{equation}
p(X\in I)=p(A). p(X\in I)=p(A).
...@@ -4046,7 +4046,7 @@ déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par défini ...@@ -4046,7 +4046,7 @@ déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par défini
reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires. reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent
être posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$. posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que
la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des
sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se
...@@ -4079,11 +4079,11 @@ $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire ...@@ -4079,11 +4079,11 @@ $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\}, \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\},
\end{equation} \end{equation}
ce qui n'est pas très aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important ce qui n'est pas très aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important
de tenter d'optimiser les valeur $a$, $c$ et $m$ pour de tenter d'optimiser les valeurs $a$, $c$ et $m$ pour
avoir des séquences aussi ``aléatoires'' que possible. avoir des séquences aussi ``aléatoires'' que possible.
Une première chose à remarquer c'est que $m$ sera la valeur maximale de la période Une première chose à remarquer c'est que $m$ sera la valeur maximale de la période
de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirage qu'il faudra de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirages qu'il faudra
effectuer pour que la série se répète exactement). effectuer pour que la série se répète exactement).
Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple
...@@ -4157,7 +4157,7 @@ avec deux générateurs différents ...@@ -4157,7 +4157,7 @@ avec deux générateurs différents
Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}. Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}.
\end{align} \end{align}
On voit que la suite $Y$ semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$. On voit que la suite $Y$ semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$.
En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages et de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$, En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages est de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$,
alors que la probabilité d'avoir autant de 0 que de 1 est de $p(X)=1/2$. alors que la probabilité d'avoir autant de 0 que de 1 est de $p(X)=1/2$.
De façon générale on aimerait que la répartition soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité De façon générale on aimerait que la répartition soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité
de $90\%$. de $90\%$.
...@@ -4179,12 +4179,12 @@ toutes tendre vers $1$. ...@@ -4179,12 +4179,12 @@ toutes tendre vers $1$.
Néanmoins, il est certain qu'aucun générateur ne peut être parfait. En effet, Néanmoins, il est certain qu'aucun générateur ne peut être parfait. En effet,
les nombres étant toujours représentés avec une précision finie, il est impossible les nombres étant toujours représentés avec une précision finie, il est impossible
d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombre d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombres
vraiment aléatoires avec un générateur pseudo-aléatoire. On va donc plutôt vraiment aléatoires avec un générateur pseudo-aléatoire. On va donc plutôt
considérer une autre définition pour la qualité d'un générateur algorithmique. considérer une autre définition pour la qualité d'un générateur algorithmique.
Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires. Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires.
Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombre Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombres
qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation
n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit
être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci
......
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