equations done

covid/01_covid.md

@@ -92,6 +92,64 @@ La transition $S\rightarrow I$ est décrite par le taux de transmission de la ma
 De même la transition $I\rightarrow R$ est donnée par $\lambda=1/d$, le taux de guérison (ou de mort) qui est simplement
 l'inverse du temps nécessaire à la guérison (ou à la mort).
 
+A présent, nous pouvons écrire les équations différentielles
+régissant l'évolution de $S(t)$, $I(t)$ et $R(t)$.
+
+Le nombre d'individus susceptible d'attraper la maladie
+va décroître proportionnellement au taux de transmission de la maladie multiplié par la fraction du nombre d'individus susceptible de l'attraper sur leur nombre total
+$$
+S'(t)=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},
+$$
+où $N=I(t)+S(t)+R(t)$ est la population totale (c'est une constante). Étant donné qu'il n'y a pas d'individus sains
+injectés dans le système il n'y a pas de façon de faire croître $S(t)$.
+
+Le nombre de personnes guéries va croître proportionnellement
+au nombre de personnes infectées
+$$
+R'(t)=\lambda I(t).
+$$
+
+Finalement, le nombre de personnes infectieuses va croître exactement du
+même nombre que le nombre de personne saine ayant attrapé la maladie, et décroître du nombre de personne guéries
+$$
+I'(t)=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t).
+$$
+
+Nous avons donc un système d'équations différentielles.
+\begin{align*}
+S'(t)&=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I'(t)&=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t),\\
+R'(t)&=\lambda I(t).
+\end{align*}
+
+La dynamique de ce système est pilotée par $R_0$,
+le taux de reproduction de base qui est donné par le rapport du taux de transmission de la maladie avec le taux de guérison
+$$
+R_0=\frac{\beta}{\lambda}.
+$$
+
+Ce système d'équations est **non-linéaire** mais possède une solution analytique. Nous n'allons pas nous intéresser à sa résolution analytique, mais plutôt le résoudre numériquement.
+
+En nous rappelant que la définition de $f'(t)$ est
+$$
+f'(t)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t+\delta t) - f(t)}{\delta t},
+$$
+on voit qu'on peut approximer $f'(t)$ par
+$$
+f'(t)\cong \frac{f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}.
+$$
+Il vient que le système d'équations ci-dessus peut se réécrire
+\begin{align}
+S(t+\delta t)&=S(t)-\frac{\delta t\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I(t+\delta t)&=I(t)+\delta t\left(\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t)\right),\\
+R(t+\delta t)&=R(t)+\delta t\lambda I(t).
+\end{align}
+A l'aide de ces équations on peut calculer *itérativement*
+la valeur de $S, I, R$ de ces valeurs pour un $t$ donné en partant d'une condition initiale $S(0)$, $I(0)$, et $R(0)$.
+
+
+
+