La solution de l'équation de Lorenz est dite *chaotique*. Cela signifie
que si nous considérons deux conditions initiales $\vec y^1$ et $\vec y^2$ qui
sont très proches. Elles s'éloigneront l'une de l'autre
exponentiellement vite au cours du temps.
Par ailleurs, comme on peut le constater sur la figure
[1](#fig_lorenz){reference-type="ref" reference="fig_lorenz"} la
solution a une structure de "papillon". Cette structure est retrouvée
indépendemment de la condition initiale (on aura toujours cette forme de
solution) bien que la position à un temps donné ne soit pas la même pour
deux conditions initiales différentes.
# Travail à effectuer
## Écriture des solveurs
Écrire un solveur pour la méthode d'Euler explicite (méthode de
Runge--Kutta à un étage), un pour la méthode de Runge--Kutta à deux
étages et un pour la méthode de Runge--Kutta d'ordre 4.
## Équation de Lorenz
Afin de valider les solveurs, appliquer les trois solveurs à l'équation de Lorenz et reproduire une
figure approchant celle de l'énoncé (faire un graphique éventuellement
tri-dimmensionnel de la trajectoire obtenue pour une condition initiale
quelconque).
## Orbites périodiques
L'attracteur de Lorenz contient des trajectoires périodiques sur
lesquelles le système revient au point initial après un certain temps.
Ces trajectoires sont dites "instables", comme toute autre trajectoire
de ce système : il suffit qu'on dévie un tout petit peu de la
trajectoire, et on finit par s'en éloigner complètement. Le point
suivant se trouve (dans la limite de la précision numérique fournie) sur
une trajectoire périodique de période $t_{max}=1.5586522$:
$y_0=(-0.9101673912,-1.922121396,18.18952097)$. Prendre ce point comme
valeur initiale, et faites évoluer le système avec un pas de temps donné
(par exemple $\delta t = 0.001$). Combien de temps arrivez-vous à rester
sur l'orbite périodique avec chacun des solveurs? Tracez les deux
trajectoires sur une figure 3D pour les comparer.
# Modélisation d'épidémies
Une fois les solveurs validés vous vous attaquerez à la tâche d'utiliser vos solveurs
pour résoudre un vrai problème d'actualité.
## Le modèle SEIR
Afin de modéliser la propagation d'une épidémie, nous allons utiliser le modèle SEIR, qui est un modèle compartimental où $S$ est la population susceptible d'être infectée, $E$ la population exposée (pas encore infectieuse) qui correspond à la population où la population est en incubation, $I$ la population infectieuse, et finalement $R$ la population rétablie.
La dynamique de ce système est caractérisée par la population initiale de chaque catégorie:
où $\mathcal{R}_0$ est taux de reproduction de base, $T_{inf}$ est le temps où un individu est infectieux, et $T_{inc}$ est le temps d'incubation de la maladie.
Ce modèle peut être amélioré pour inclure d'autres termes (par exemple des termes reliés aux trajets de gens entrant ou sortant dans la population, ainsi que ternir compte des morts naturelles, etc). Pour le moment nous nous contentons de cette version simplifiée qui pourra être rendue encore plus réaliste par la suite.
## Travail à effectuer
L'utilisation que vous ferez de votre modèle ne dépendra que de vous. Essayez de concevoir des scénarios différents de réaction des pouvoirs publics et simulez les!
