corrections orthographe

04_edo.md

@@ -115,9 +115,14 @@ Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que
 $$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r  \delta t)(1+r  \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$
 Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour
 $\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a
-$$\begin{aligned}
+$$
+\begin{aligned}
  n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\
- n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).\end{aligned}$$ On trouve donc finalement
+ n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).
+\end{aligned}
+$$
+ 
+On trouve donc finalement
 que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien
 vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0.
 
@@ -262,7 +267,7 @@ $n$-ème de $y$.
 
 ---
 
-#### Illustation {-}
+#### Illustration {-}
 
 L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
 $$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
@@ -396,7 +401,7 @@ donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-La solution  des équations différencielles inhomogènes se
+La solution  des équations différentielles inhomogènes se
 trouve de la façon suivante.
 
 1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée,
@@ -515,7 +520,7 @@ dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned}
  \end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation
 différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où
 on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation 
-pour obtienir
+pour obtenir
 $$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$
 Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
 inhomogène est
@@ -549,12 +554,12 @@ Résoudre les équations différentielles suivantes
 
 2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
 
-### Équations de Bernouilli
+### Équations de Bernoulli
 
 Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
 équations linéaires via des changements de variables.
 
-Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
+Une classe particulière sont les équations de Bernoulli, qui s’écrit
 $$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
 $r\in{\real}$.
 
@@ -564,14 +569,14 @@ $$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
 Dans ce cas là, en effectuant le changement de variable suivant
 $$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice)
 $$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
-de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
+de Bernoulli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
 de la méthode de la section @sec:eq_lin.
 
 ---
 
 #### Exemple {-}
 
-Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ 
+Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ 
 
 #### Solution {-}
 
@@ -593,7 +598,7 @@ $y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
 L’équation de Riccati qui est de la forme
 $$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et
 est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de
-Bernouilli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
+Bernoulli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
 
 Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une
 solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la
@@ -604,7 +609,7 @@ ce-dessus devient donc
 $$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$
 En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a
 $$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette
-équation est une équation de Bernouilli avec $n=2$. On sait donc comment
+équation est une équation de Bernoulli avec $n=2$. On sait donc comment
 la résoudre.
 
 --
@@ -686,7 +691,7 @@ deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme
 caractéristique de notre EDO d’ordre 2.
 
 Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple
-problème d’algèbre. Le polynome ci-dessus se factorise simplement en
+problème d’algèbre. Le polynôme ci-dessus se factorise simplement en
 $$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et
 $\lambda=-2$.
 
@@ -694,7 +699,7 @@ On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
 $$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux
 équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous
 avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
-qu’on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut
+qu’on pouvait construire des solutions plus générales. En effet, on peut
 montrer que la solution la plus générale à cette EDO est
 $$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y
 a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce
@@ -708,7 +713,7 @@ $$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$
 
 A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation
 @eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même
-subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
+substitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
  &a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\
  &a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit
 être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre
@@ -724,7 +729,7 @@ $\Delta < 0$.
 #### Le cas $\Delta>0$
 
 Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
-La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravant)
+La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent)
 $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
 
 #### Le cas $\Delta=0$
@@ -737,7 +742,7 @@ satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
 Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
 la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
 fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a
-$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilant que
+$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilisant que
 $\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de
 cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution
 générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$
@@ -769,7 +774,7 @@ l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned}
  &=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a
 définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$.
 
-Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficiens constants suivantes:
+Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficients constants suivantes:
 
 1. $y''+y'+y=0$,
 
@@ -901,7 +906,7 @@ $n=0$ $$\begin{aligned}
  x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\
  x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$
 où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème.
-Esuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
+Ensuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
 avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage
 considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
 force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les