fin ajout exos

cours.md

@@ -1860,7 +1860,7 @@ Modéliser le problème:
 2. Écrire la fonction objectif.
 3. Ecrire les contraintes.
 
-Le problème se résout de la façon suivante:
+Le problème se modélise de la façon suivante:
 
 1. Les variables sont $x_i$ les quantités en kilos de pizzas du type $LU$ et $LC$ (on a donc $x_{LU}$, et $x_{LC}$).
 2. La fonction objectif à maximiser est le rendement des pizzas:
@@ -1907,7 +1907,7 @@ Modéliser le problème:
 2. Écrire la fonction objectif.
 3. Ecrire les contraintes.
 
-Le problème se résout de la façon suivante:
+Le problème se modélise de la façon suivante:
 
 1. Les variables du probèmes sont $x_{ij}$, le nombre de GWh acheminés de la centrale $i$ à la ville $j$.
 On peut par exemple numéroter la Grande Dixence, Leibstadt et Mühleberg, 1, 2, et 3 respectivement et
@@ -1939,6 +1939,61 @@ f(\vec x) = &3x_{11} + 5x_{12} + 8x_{13} +\nonumber\\
 
 ---
 
+---
+
+Problème (Transport) +.#
+
+Le graphe de la @fig:graph_transport représente le réseau de transport d'un jouet de deux usines $U$, et $V$,
+à deux clients $C$, et $D$ en passant par les entrepôts $E$ et $F$. Sur les arrêtes du graphe se
+situent les coûts de transport par jouet transporté.
+
+![Graphe des chemins possibles entre les usines $U$, $V$ et les clients $C$, $D$, en passant par les entrepôts $E$, $F$. Les arrêtes des graphes représentent les coûts de transport entre chque noeud.](figs/graph_transport.svg){#fig:graph_transport width=100%}
+
+A la sortie de l'usine $A$, il y a une quantité de $90$ jouets disponibles et une quantité de $75$
+jouets à la sortie de l'usine $B$. Les clients $C$ et $D$ ont une demande de respectivement
+$70$ et $80$. Les entrepôts ne sont qu'un point de transit.
+
+Modéliser le problème d'optimisation permettant de déterminer le planning de transport optimal
+qui permet de satisfaire les demandes des clients pour un coût aussi faible que possible.
+
+1. Déterminer les variables du problème.
+2. Écrire la fonction objectif.
+3. Ecrire les contraintes.
+
+Le problème se modélise de la façon suivante:
+
+1. Les variables sont les quantités transportées entre les usines et entrepôts,
+$x_{UE}$, $x_{UF}$, $x_{VE}$, $x_{VF}$, et les quantités transportées entre les
+entrepôts et les clients $x_{EC}$, $x_{ED}$, $x_{FC}$, $x_{FD}$.
+2. On cherhce à minimiser la fonction de coût de transport $f(\vec x)$
+$$
+f(x)=x_{UE} + 2x_{UF} + 3x_{VE} + 4x_{VF} + 5x_{EC} + 8x_{ED}
+     + 7x_{FC} + 6x_{FD}.
+$$
+3. Il y a 4 sortes de contraintes.
+
+    a. Les quantités de jouets sont des entiers positifs
+    $$
+    x_{ij}\in\natural.
+    $$
+    b. Ce qui part des usines doit être plus petit que le stock local
+    \begin{align}
+    x_{UE}+x_{UF}&\leq 90,\\
+    x_{VE}+x_{VF}&\leq 75.
+    \end{align}
+    c. Ce qui arrive à chaque entrepôt doit partir de chaque entrepôt
+    \begin{align}
+    x_{UE}+x_{VE}&=x_{EC}+x_{ED},\\
+    x_{UF}+x_{VF}&=x_{FC}+x_{FD}.
+    \end{align}
+    d. Les clients doivent recevoir la quantité demandée
+    \begin{align}
+    x_{EC}+x_{FC}&= 70,\\
+    x_{ED}+x_{FD}&= 80.
+    \end{align}
+
+---
+
 # Remerciements
 
 Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours