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Commit 672e3d8b authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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View file @ 672e3d8b
default:
pandoc -s -S -o test.pdf cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=default.latex --latex-engine pdflatex --top-level-division=chapter
pandoc -s -S -o test.pdf cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=default.latex --latex-engine pdflatex
latex:
pandoc -s -S -o test.tex cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=./default.latex
......@@ -8,4 +8,4 @@ epub:
pandoc -s -S -o test.epub cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref -t epub3
htmlc:
pandoc -s -S -o test.html cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --mathml -t html5
\ No newline at end of file
pandoc -s -S -o test.html cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --mathml -t html5
\ No newline at end of file
cours.md
+ 50
− 41
View file @ 672e3d8b
---
codeBlockCaptions: True
cref: False
author:
- Orestis Malaspinas
title: Résumé du cours de Mathématiques
......@@ -13,9 +11,14 @@ chapters: true
numberSections: true
chaptersDepth: 1
sectionsDepth: 3
lang: fr
documentclass: book
papersize: A4
cref: false
---
# Rappel
Rappel
======
Fonctions
......@@ -1016,7 +1019,7 @@ pour les paramètres précédent la forme suivante sur une période de 100
ans.
![L’évolution du capital $c$ en fonction du temps su 100
ans.[]{data-label="fig_interets"}](figs/interets.pdf){width="50.00000%"}
ans.](figs/interets.pdf){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux
-----------------------------------
......@@ -1684,7 +1687,7 @@ comme une “notation” de ${\mathbb{R}}^2$. On peut donc les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
![Représentation du nombre complexe
$z=a+ib$.[]{data-label="fig_complexPlane"}](figs/complexPlane.pdf){width="35.00000%"}
$z=a+ib$.](figs/complexPlane.pdf){#fig:complexPlane width="35.00000%"}
La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
......@@ -1693,7 +1696,7 @@ chacun des nombres complexes à sommer.
![Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et
$z_2=c+id$. Le résultat est donné par
$z_3=a+c+i(b+d)$.[]{data-label="fig_complexPlaneSum"}](figs/complexPlaneSum.pdf){width="50.00000%"}
$z_3=a+c+i(b+d)$.](figs/complexPlaneSum.pdf){#fig:complexPlaneSum width="50.00000%"}
Pour la multiplication cela s’avère un peu plus difficile à interpréter.
Pour cela il est plus simple de passer par une représentation via des
......@@ -1701,7 +1704,7 @@ sinus et des cosinus (en coordonnées cylindriques) des nombres complexes
(voir la @fig:complexPlaneCyl.
![Représentation du nombre complexe
$z=a+ib$.[]{data-label="fig_complexPlaneCyl"}](figs/complexPlaneCyl.pdf){width="35.00000%"}
$z=a+ib$.](figs/complexPlaneCyl.pdf){#fig:complexPlaneCyl width="35.00000%"}
En utilisant la représentation en termes de $\vartheta$ et $r$, on a que
$z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)=a+ib$. On a immédiatement les
......@@ -1862,7 +1865,7 @@ implicites. Par exemple, si $u=(4,5)$ cela signifie implicitement qu’on
a $$u=4\cdot e_1+5\cdot e_2.$$
![Le vecteur $v$ dans la représentation
cartésienne.[]{data-label="fig_baseCart"}](figs/baseCart.pdf){width="35.00000%"}
cartésienne.](figs/baseCart.pdf){#fig:baseCart width="35.00000%"}
De façon générale le vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement
par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On
......@@ -1876,7 +1879,7 @@ direction) peut être utilisée pour représenter un vecteur quelconque
dans le plan (voir la @fig:baseNonCart).
![Le vecteur $v$ dans une représentation non
cartésienne..[]{data-label="fig_baseNonCart"}](figs/baseNonCart.pdf){width="35.00000%"}
cartésienne.](figs/baseNonCart.pdf){#fig:baseNonCart width="35.00000%"}
Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire
facilement les additions de vecteurs
......@@ -2546,28 +2549,30 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
60000 5
1000000 1
: Tableau du nombre de salariés par
salaire.[]{data-label="table_salaires"}
: Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
[|c|c|]{} Temps d’exécution & Nombre\
\[50,51) & 7\
\[51,52) & 12\
\[52,53) & 8\
\[53,54) & 23\
Temps d’exécution Nombre
------------------- --------
\[50,51) 7
\[51,52) 12
\[52,53) 8
\[53,54) 23
: Tableau du temps d'exécution et du nombre d'exécutions. {#tbl:exec}
Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
![Nombre salariés en fonction du
salaire.[]{data-label="fig_salaires"}](figs/graph_salaires.pdf){width="50.00000%"}
salaire.](figs/graph_salaires.pdf){#fig:salaires width="50.00000%"}
ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
Fig. @fig:exec).
![Nombre d’exécutions en fonction du temps
d’exécution.[]{data-label="fig_exec"}](figs/graph_exec.pdf){width="50.00000%"}
d’exécution.](figs/graph_exec.pdf){#fig:exec width="50.00000%"}
### Fréquences
......@@ -2601,11 +2606,14 @@ Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
tableau @tbl:exec_freq affiche les différentes fréquences des
temps d’exécution.
[|c|c|c|]{} Temps d’exécution & Nombre & Fréquence\
\[50,51) & 7 & $7/50=0.14$\
\[51,52) & 12 & $12/50=0.24$\
\[52,53) & 8 & $8/50=0.16$\
\[53,54) & 23 & $23/50=0.46$\
Temps d’exécution Nombre Fréquence
------------------- -------- --------------
\[50,51) 7 $7/50=0.14$
\[51,52) 12 $12/50=0.24$
\[52,53) 8 $8/50=0.16$
\[53,54) 23 $23/50=0.46$
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence des temps d'exécution. {#tbl:exec_freq}
La fréquence possède un certain nombre de propriétés que nous
retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
......@@ -2622,8 +2630,8 @@ Relié avec la propriété $2$ ci-dessus, il peut également être
intéressant d’obtenir la *fréquence cumulée*, notée $F(x)$, d’un
caractère qui se définit comme la fréquence des individus qui présentent
une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondants aux
tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir Tabls.
@tbl:salaires_freqcum et @tbl:exec_freqcum)
tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
@tbl:salaires_freqcum et le @tbl:exec_freqcum)
Salaire Nombre de salariés Fréquence Fréquence cumulée
--------- -------------------- ---------------------- ----------------------------
......@@ -2632,15 +2640,16 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir Tabls.
60000 5 $5/61\cong0.081967$ $(20+35+5)/61\cong0.98361$
1000000 1 $1/61\cong0.016393$ $(20+35+5+1)/61=1$
: Tableau des salaires, du nombre de salariés, et la fréquence et
fréquence cumulée des salaires.[]{data-label="table_salaires_freqcum"}
: Tableau des salaires, du nombre de salariés, et la fréquence et fréquence cumulée des salaires. {#tbl:salaires_freqcum}
Temps d’exécution Nombre Fréquence Fréquence cumulée
------------------- -------- ---------------- ----------------------
\[50,51) 7 $7/50=0.14$ $7/50=0.14$
\[51,52) 12 $12/50=0.24$ $(7+12)/50=0.38$
\[52,53) 8 $8/50=0.16$ $(7+12+8)/50=0.54$
\[53,54) 23 $23/50=0.46$ $(7+12+8+23)/50=1$
[|c|c|c|c|]{} Temps d’exécution & Nombre & Fréquence & Fréquence
cumulée\
\[50,51) & 7 & $7/50=0.14$ & $7/50=0.14$\
\[51,52) & 12 & $12/50=0.24$ & $(7+12)/50=0.38$\
\[52,53) & 8 & $8/50=0.16$ & $(7+12+8)/50=0.54$\
\[53,54) & 23 & $23/50=0.46$ & $(7+12+8+23)/50=1$\
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
[Fréquence cumulée]{}
......@@ -3079,7 +3088,7 @@ réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
@fig:arbre).
![Représentation du tirage $26$ sous forme
d’arbre.[]{data-label="fig_arbre"}](figs/arbre.pdf){width="\textwidth"}
d’arbre.](figs/arbre.pdf){#fig:arbre width="\textwidth"}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
......@@ -3092,7 +3101,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités
associées.[]{data-label="fig_arbre2"}](figs/arbre2.pdf){width="\textwidth"}
associées.](figs/arbre2.pdf){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
......@@ -3117,7 +3126,7 @@ simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
simplifier
l’affichage.[]{data-label="fig_arbre3"}](figs/arbre3.pdf){width="\textwidth"}
l’affichage.](figs/arbre3.pdf){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
......@@ -3230,28 +3239,28 @@ remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
la @fig:loto.
![Les six numéros présents initialement dans le
sac.[]{data-label="fig_loto"}](figs/loto.pdf){height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto.pdf){#fig:loto height="1.8truecm"}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
$\frac{1}{6}$.
![Le numéro 2 est tiré lors du premier
tirage.[]{data-label="fig_loto2"}](figs/loto2.pdf){height="1.8truecm"}
tirage.](figs/loto2.pdf){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
@fig:loto3).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le
sac.[]{data-label="fig_loto3"}](figs/loto3.pdf){height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto3.pdf){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
@fig:loto4).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le
5.[]{data-label="fig_loto4"}](figs/loto4.pdf){height="1.8truecm"}
5.](figs/loto4.pdf){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
ainsi de suite.
......@@ -3297,7 +3306,7 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
@fig:bille)
![Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou
$C$.[]{data-label="fig_bille"}](figs/bille.pdf){height="2.8truecm"}
$C$.](figs/bille.pdf){#fig:bille height="2.8truecm"}
- Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou
......
0% or .
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