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...@@ -222,7 +222,7 @@ avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que ...@@ -222,7 +222,7 @@ avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
\begin{equation} \begin{equation}
\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}. \log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.
\end{equation} \end{equation}
La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge vite vers une valeurs finie et on peut faire l'approximation La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge vite vers une valeur finie et on peut faire l'approximation
\begin{equation} \begin{equation}
\log(n)\cong(p-1)\log(10), \log(n)\cong(p-1)\log(10),
\end{equation} \end{equation}
...@@ -3272,7 +3272,7 @@ Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance ...@@ -3272,7 +3272,7 @@ Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance
Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne. Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.
Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien. Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien.
On peut donc s'intéresser plutôt à la moyenne de l'écart quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et donc la moyenne sera On peut donc s'intéresser plutôt à la moyenne de l'écart quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et donc la moyenne sera
de cette écart quadratique aura toujours une valeurs qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si de cette écart quadratique aura toujours une valeur qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)\footnote{on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela est moins pratique à étudier théoriquement.}. $x_i-\bar{x}=0,\forall i$)\footnote{on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela est moins pratique à étudier théoriquement.}.
On définit donc la \textit{variance}, $v$, comme étant la moyenne des écarts quadratiques On définit donc la \textit{variance}, $v$, comme étant la moyenne des écarts quadratiques
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -3658,8 +3658,8 @@ On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les résultats possible pour ...@@ -3658,8 +3658,8 @@ On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les résultats possible pour
\subsection{Tirages multiples} \subsection{Tirages multiples}
Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. Jusqu'ici on a lancé le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique.
A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilités d'obtenir des séquences
de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement. de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont
successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de
...@@ -3668,7 +3668,7 @@ cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun ...@@ -3668,7 +3668,7 @@ cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun
\Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}. \Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.
\end{equation} \end{equation}
Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage
a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas. a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples où cela n'est pas le cas.
On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$. On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$.
...@@ -3845,7 +3845,7 @@ On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabil ...@@ -3845,7 +3845,7 @@ On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabil
une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance
(ce qui n'est pas le cas du lotto). (ce qui n'est pas le cas du lotto).
Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial. Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est primordial.
En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}. En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}.
\begin{figure}[htp] \begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf}
...@@ -3856,7 +3856,7 @@ Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2} ...@@ -3856,7 +3856,7 @@ Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf}
\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2} \caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2}
\end{figure} \end{figure}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi lesquels choisir
(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}). (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}).
\begin{figure}[htp] \begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf} \includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf}
...@@ -3876,22 +3876,22 @@ On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de ...@@ -3876,22 +3876,22 @@ On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
\end{equation} \end{equation}
A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer
ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmi
$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5. $6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmi 5.
Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$. Les deux probabilités sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
\begin{exercices} \begin{exercices}
\hfill\break \hfill\break
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles. \item Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmi 11 possibles.
Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage. Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
\item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de \item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmi 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmi 6. Calculez la probabilité de
gagner au swiss lotto.. gagner au swiss lotto..
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{exercices} \end{exercices}
\section{Quelques exercices} \section{Quelques exercices}
Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise Afin de continuer avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices. de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise. \item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
...@@ -3919,7 +3919,7 @@ dans la boîte $A$, $B$ ou $C$. ...@@ -3919,7 +3919,7 @@ dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
est de $p(G)=0.514$. est de $p(G)=0.514$.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille. \item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe. \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés. \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{enumerate} \end{enumerate}
...@@ -3970,7 +3970,7 @@ Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus a ...@@ -3970,7 +3970,7 @@ Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus a
Prenons ces trois questions une par une Prenons ces trois questions une par une
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun \item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun
des événement de l'univerrs étants équiprobables on a des événements de l'univers étants équiprobables on a
\begin{equation} \begin{equation}
p(X=1)=p(A)=1/2. p(X=1)=p(A)=1/2.
\end{equation} \end{equation}
...@@ -3978,7 +3978,7 @@ Prenons ces trois questions une par une ...@@ -3978,7 +3978,7 @@ Prenons ces trois questions une par une
\begin{equation} \begin{equation}
p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}. p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.
\end{equation} \end{equation}
\item De façon similaire les trois énénements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc \item De façon similaire les trois événements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
\begin{equation} \begin{equation}
p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}. p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.
\end{equation} \end{equation}
...@@ -3990,7 +3990,7 @@ est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préim ...@@ -3990,7 +3990,7 @@ est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préim
On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$. On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$.
\begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la \begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la
préimage de $X$ sur tout intervale, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur préimage de $X$ sur tout intervalle, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur
dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$ dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$
\begin{equation} \begin{equation}
p(X\in I)=p(A). p(X\in I)=p(A).
...@@ -4046,7 +4046,7 @@ déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par défini ...@@ -4046,7 +4046,7 @@ déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par défini
reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires. reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent
être posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$. posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que
la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des
sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se
...@@ -4079,11 +4079,11 @@ $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire ...@@ -4079,11 +4079,11 @@ $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\}, \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\},
\end{equation} \end{equation}
ce qui n'est pas très aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important ce qui n'est pas très aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important
de tenter d'optimiser les valeur $a$, $c$ et $m$ pour de tenter d'optimiser les valeurs $a$, $c$ et $m$ pour
avoir des séquences aussi ``aléatoires'' que possible. avoir des séquences aussi ``aléatoires'' que possible.
Une première chose à remarquer c'est que $m$ sera la valeur maximale de la période Une première chose à remarquer c'est que $m$ sera la valeur maximale de la période
de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirage qu'il faudra de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirages qu'il faudra
effectuer pour que la série se répète exactement). effectuer pour que la série se répète exactement).
Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple
...@@ -4157,7 +4157,7 @@ avec deux générateurs différents ...@@ -4157,7 +4157,7 @@ avec deux générateurs différents
Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}. Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}.
\end{align} \end{align}
On voit que la suite $Y$ semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$. On voit que la suite $Y$ semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$.
En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages et de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$, En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages est de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$,
alors que la probabilité d'avoir autant de 0 que de 1 est de $p(X)=1/2$. alors que la probabilité d'avoir autant de 0 que de 1 est de $p(X)=1/2$.
De façon générale on aimerait que la répartition soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité De façon générale on aimerait que la répartition soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité
de $90\%$. de $90\%$.
...@@ -4179,12 +4179,12 @@ toutes tendre vers $1$. ...@@ -4179,12 +4179,12 @@ toutes tendre vers $1$.
Néanmoins, il est certain qu'aucun générateur ne peut être parfait. En effet, Néanmoins, il est certain qu'aucun générateur ne peut être parfait. En effet,
les nombres étant toujours représentés avec une précision finie, il est impossible les nombres étant toujours représentés avec une précision finie, il est impossible
d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombre d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombres
vraiment aléatoires avec un générateur pseudo-aléatoire. On va donc plutôt vraiment aléatoires avec un générateur pseudo-aléatoire. On va donc plutôt
considérer une autre définition pour la qualité d'un générateur algorithmique. considérer une autre définition pour la qualité d'un générateur algorithmique.
Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires. Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires.
Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombre Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombres
qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation
n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit
être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci
......
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