corrections des def, ... jusqu'au chapitre 2

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@@ -475,7 +475,7 @@ primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
 
 ---
 
-Exemple (Unicité) +.#
+Illustration (Unicité) +.#
 
 Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
 $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
@@ -518,7 +518,9 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
 
 5.  $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
 
-\[def_prim\] En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
+Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#  
+
+En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
 de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\mathbb{R}}$ et $a<b$
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$$
 
@@ -527,10 +529,16 @@ elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
 écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
 symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
 
+---
+
+Remarque +.#
+
 On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
 effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).$$
 
+---
+
 De la définition \[def_prim\], il vient immédiatement que
 $$\int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0$$ et que
 $$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x$$
@@ -539,6 +547,8 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
 $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Nous avons donc que $G(x)$
 est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
 
+Propriétés +.#
+
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
 $D=[a,b]\subseteq{\mathbb{R}}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\mathbb{R}}$.
 On a
@@ -574,20 +584,41 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
  &\int_{-\infty}^b f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
  &\int_{-\infty}^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
 
+
+---
+
+Exemple (Intégrale impropre) +.#
+
 Calculer l’intégrale suivante
-$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$ Nous pouvons réécrire
+$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$ 
+
+Solution (Intégrale impropre) +.#
+
+Nous pouvons réécrire
 l’intégrale ci-dessus comme
 $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e^{-ax}{\mathrm{d}}x=-\frac{1}{a}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\left[e^{-ax}\right]_0^b=-\frac{1}{a}\left[\lim\limits_{b\rightarrow \infty}e^{-ab}-1\right]=\frac{1}{a}.$$
 
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
 Calculer l’intégrale suivante
 $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
 $c\in[a,b]$ nous avons
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
 
+Exercice +.#
+
 Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
 
+Définition (Valeur moyenne) +.#
+
 Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ et $a<b$,
 alors on appelle la valeur moyenne de cette fonction sur $[a,b]$,
 $\bar{f}$, $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
@@ -612,9 +643,15 @@ $\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\mathbb{R}}$ $$\begin{aligned}
  =&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
  =&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$
 
+---
+
+Exercice +.#
+
 Intégrer la fonction suivante
 $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 #### Application de la règle de chaîne pour l’intégration
 
 Une primitive de la forme
@@ -628,15 +665,30 @@ $$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c.$$
 Une primitive de la forme
 $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
 
+---
+
+Exemple +.#
+
+Calculer la primitive suivante
+$$
+\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
+$$
+
+Solution +.#
+
 Le calcul de la primitive de suivante
 $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
 
+---
+
 #### Règle de chaîne
 
-De façon une des façons les plus simples de calculer une primitive est
+Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
 de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
 $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
 
+Illustration +.#
+
 Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
 primitive
 $$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}.$$
@@ -663,8 +715,18 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
 2.  $f=\int f'{\mathrm{d}}x$ soit facile à calculer et aurait une forme
     plus simple que $f'$.
 
+---
+
+Exemple +.# 
+
 Calculer les primitives suivantes
 
+1.  $\int x e^x{\mathrm{d}}x$.
+
+2.  $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 
+
+Solution +.#
+
 1.  $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
     $f(x)=e^x$. Il vient
     $$\int x e^x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.$$
@@ -673,20 +735,38 @@ Calculer les primitives suivantes
     donc $g'(x)=-\sin(x)$, $f(x)=-\cos(x)$. Il vient $$\begin{aligned}
         &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x\nonumber\\
         \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
-      \end{aligned}$$ On voit que le résultat de l’intégration par
-    partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet
-    d’évaluer directement la dite intégrale.
+      \end{aligned}$$ 
+
+On voit que le résultat de l’intégration par
+partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet
+d’évaluer directement la dite intégrale.
+
+---
 
 Il est également possible d’enchaîner plusieurs intégrations par
 parties.
 
-L’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. En posant $g(x)=x^2$,
+---
+
+Exemple +.# 
+
+Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. 
+
+Solution +.# 
+
+En posant $g(x)=x^2$,
 $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
 $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\int x e^x{\mathrm{d}}x.$$ On pose
 de façon similaire $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, $f(x)=e^x$
 et il vient
 $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^2e^x-2x e^x +2e^x+c.$$
 
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
 Calculer les primitives suivantes
 
 1.  $\int \ln(x){\mathrm{d}}x$
@@ -695,6 +775,8 @@ Calculer les primitives suivantes
 
 3.  $\int e^x\sin(x){\mathrm{d}}x$
 
+---
+
 ### Intégration par changement de variables
 
 On observe que la dérivation de la composition de deux fonctions $F$ et
@@ -704,6 +786,8 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
  \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
 Cette relation nous mène au théorème suivant.
 
+Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
+
 Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
 la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
 également l’image de $g$ contenue dans le domaine de définition de $f$.
@@ -720,8 +804,14 @@ on ne calcule pas l’intégrale mais la primitive, on ne modifie
 la primitive il faut également appliquer la transformation $x=g^{-1}(z)$
 sur la solution.
 
+---
+
+Exemple (Changement de variable) +.#
+
 Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
 
+Solution (Changement de variable) +.#
+
 En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
 Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
 obtient donc $$\begin{aligned}
@@ -729,6 +819,12 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
                           &=3\left[z\ln(z)-z\right]_1^9=3(9\ln(9)-9-\ln(1)+1)=27\ln(9)-24.
  \end{aligned}$$
 
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
 Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 
 1.  $\int \frac{1}{5x-7}{\mathrm{d}}x$
@@ -737,6 +833,8 @@ Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 
 3.  $\int x e^{x^2}{\mathrm{d}}x$
 
+---
+
 Intégration numérique
 ---------------------
 
@@ -763,10 +861,20 @@ lesquelles nous évaluons les intégrale est finie, si $\delta x$ devient
 proche de la précision de la machine des erreurs d’arrondi vont dégrader
 dramatiquement la précision de l’intégration.
 
+---
+
+Remarque +.#
+
 De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
 exacte de $E$. En revanche on est en capable de déterminer **l’ordre**
 de l’erreur.
 
+---
+
+---
+
+Définition (Ordre d'une méthode) +.#
+
 On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
 par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
 erreur est d’ordre $k$ par le symbole $\mathcal{O}(\delta x^k)$.
@@ -775,6 +883,8 @@ d’un facteur $2$, l’erreur sera elle divisée par $2^2=4$. Si une méthode
 est d’ordre $3$, alors en diminuant $\delta x$ d’un facteur $2$, nous
 aurons que l’erreur est divisée par un facteur $2^3=8$. Etc.
 
+---
+
 Comme le calcul d’une intégrale de façon numérique ne donne en général
 pas un résultat exact, mais un résultat qui va dépendre d’un certain
 nombre de paramètres utilisés pour l’intégration, il faut définir un