Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit a78d6b89 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
Browse files

Merge branch 'malaspinas-patch-19'

parents 26c75dc8 64c11208
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
Showing
with 35 additions and 34 deletions
cours.md
+ 35
− 34
View file @ a78d6b89
...@@ -1914,18 +1914,18 @@ Rappel sur les nombres complexes ...@@ -1914,18 +1914,18 @@ Rappel sur les nombres complexes
-------------------------------- --------------------------------
Dans cette section, on fait un rappel sur les nombres complexes qui Dans cette section, on fait un rappel sur les nombres complexes qui
seront beaucoup utilisés dans cette section. seront beaucoup utilisés dans la suite.
### Les nombres réels ### Les nombres réels
L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, possède un certain L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, est doté d'un certain
nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition, la soustraction, nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition,
la multiplication, la division, etc qui prennent un couple de nombres la multiplication etc qui prennent un couple de nombres
réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned} réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned}
& +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\ & +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\
& \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$ & \ \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$
On peut donc noter l’addition de deux nombres réels $7$ et $2$ et de la De la définition de l’addition de deux nombres réels il vient par exemple que
définition de l’addition on a $$+(7,2)=9.$$ On lui préfère la notation $$+(7,2)=9.$$ On préfère la notation
$$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la $$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la
multiplication et à l’addition. Ces opérations ont les propriétés multiplication et à l’addition. Ces opérations ont les propriétés
d’associativité et de commutativité. Cela veut dire que d’associativité et de commutativité. Cela veut dire que
...@@ -1941,12 +1941,12 @@ soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble ...@@ -1941,12 +1941,12 @@ soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble
est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres
$z\in{\real}^2$ comme $z\in{\real}^2$ comme
$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$ $$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$
Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition, la soustraction, Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition,
la multiplication, ... $$\begin{aligned} la multiplication, ... $$\begin{aligned}
& +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\ & +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\
& \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$ & \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$
On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels
sous la forme comme
$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add} $$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add}
$$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult} $$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult}
On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme
...@@ -1961,9 +1961,9 @@ Exercice +.# ...@@ -1961,9 +1961,9 @@ Exercice +.#
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
nombres où le deuxième nombre est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$On constate donc deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
que ce genre de nombre se comporte exactement comme un nombre réel que ce genre de nombre se comporte exactement comme un nombre réel
normal du point de vue de l’addition. Que se passe-t-il quand on normal du point de vue de l’addition. Que se passe-t-il quand on
multiplie deux tels nombres multiplie deux tels nombres
...@@ -1972,8 +1972,8 @@ On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres ...@@ -1972,8 +1972,8 @@ On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres
dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard. dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard.
En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se
comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve que comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve donc que
${\real}^2$ est un ensemble de nombre plus grand que ${\real}$ ${\real}^2$ est un ensemble plus grand que ${\real}$
et qui le contient entièrement. et qui le contient entièrement.
### Les nombres complexes ### Les nombres complexes
...@@ -1999,17 +1999,17 @@ donc que pour que cette équation soit égale à l’équation ...@@ -1999,17 +1999,17 @@ donc que pour que cette équation soit égale à l’équation
la définition formelle du nombre imaginaire. Dans les réels $i$ ne peut la définition formelle du nombre imaginaire. Dans les réels $i$ ne peut
pas exister. En revanche dans l’espace plus grand des complexes $i$ a pas exister. En revanche dans l’espace plus grand des complexes $i$ a
une existence tout à fait naturelle et raisonnable. En fait le nombre une existence tout à fait naturelle et raisonnable. En fait le nombre
$i$ est associé au couple $(0,1)$. $i$ est associé au couple $(0,1)$ comme on voit par $(0,19\cdot (0,1)=(-1,0)$.
On appelle partie réelle d’un nombre complexe $z$, la partie pas On appelle partie réelle d’un nombre complexe $z$, la partie pas
multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Re}}(z)$) et la partie multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Re}}(z)$) et partie
imaginaire celle multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Im}}(z)$). imaginaire celle multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Im}}(z)$).
Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$. Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$.
#### Interprétation géométrique #### Interprétation géométrique
Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
comme une “notation” de ${\real}^2$. On peut donc les représenter comme une “notation” de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane). sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
![Représentation du nombre complexe ![Représentation du nombre complexe
...@@ -2026,7 +2026,7 @@ $z_3=a+c+i(b+d)$.](figs/complexPlaneSum.pdf){#fig:complexPlaneSum width="50.0000 ...@@ -2026,7 +2026,7 @@ $z_3=a+c+i(b+d)$.](figs/complexPlaneSum.pdf){#fig:complexPlaneSum width="50.0000
Pour la multiplication cela s’avère un peu plus difficile à interpréter. Pour la multiplication cela s’avère un peu plus difficile à interpréter.
Pour cela il est plus simple de passer par une représentation via des Pour cela il est plus simple de passer par une représentation via des
sinus et des cosinus (en coordonnées cylindriques) des nombres complexes sinus et des cosinus (en coordonnées polaires) des nombres complexes
(voir la @fig:complexPlaneCyl. (voir la @fig:complexPlaneCyl.
![Représentation du nombre complexe ![Représentation du nombre complexe
...@@ -2051,16 +2051,17 @@ En utilisant les relations trigonométriques suivantes $$\begin{aligned} ...@@ -2051,16 +2051,17 @@ En utilisant les relations trigonométriques suivantes $$\begin{aligned}
il vient $$\begin{aligned} il vient $$\begin{aligned}
z_3=r_1r_2\left(\cos(\vartheta_1+\vartheta_2)+i(\sin(\vartheta_1+\vartheta_2)\right).\end{aligned}$$ z_3=r_1r_2\left(\cos(\vartheta_1+\vartheta_2)+i(\sin(\vartheta_1+\vartheta_2)\right).\end{aligned}$$
On a donc comme interprétation géométrique que le produit de deux On a donc comme interprétation géométrique que le produit de deux
nombres complexe donne un nombre complexe dont la longueur est le nombres complexe donne un nombre complexe dont la longueur (module) est le
produit des longueurs des nombres complexes originaux et dont produit des longueurs des nombres complexes originaux et dont
l’orientation est la somme des angles des nombres complexes originaux. l’orientation (argument) est la somme des angles des nombres complexes originaux.
Cette propriété du produit nous amène à la notation sous forme Cette propriété du produit nous amène à la notation sous forme
d’exponentielle des nombres complexes. L’exponentielle, possède la d’exponentielle des nombres complexes. L’exponentielle, possède la
propriété intéressante suivante $$e^a e^b=e^{a+b}.$$ Ou encore quand on propriété intéressante suivante $$e^a e^b=e^{a+b}.$$ Ou encore quand on
multiplie deux nombres représentés par une exponentielle, on peut multiplie deux nombres représentés par une exponentielle, on peut
représenter le résultat par l’exponentielle de la somme de leurs représenter le résultat par l’exponentielle de la somme de leurs
arguments. Comme pour les nombre complexes en somme. On a donc que arguments. Comme pour les nombre complexes en somme. Il en découle des ces considérations
que
$$z=re^{i\vartheta}=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta).$$ $$z=re^{i\vartheta}=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta).$$
On peut démontrer de façon plus rigoureuse cette relation grâce aux On peut démontrer de façon plus rigoureuse cette relation grâce aux
...@@ -2070,7 +2071,7 @@ solution $f(x)=e^{\alpha x}$ ($\alpha\in{\mathbb{C}}$). Si on remplace ...@@ -2070,7 +2071,7 @@ solution $f(x)=e^{\alpha x}$ ($\alpha\in{\mathbb{C}}$). Si on remplace
$\alpha$ par $i$, on a $f=e^{ix}$. Par ailleurs, avec $\alpha=i$, on $\alpha$ par $i$, on a $f=e^{ix}$. Par ailleurs, avec $\alpha=i$, on
peut également vérifier que $f(x)=r(\cos x+i\sin x)$ satisfait peut également vérifier que $f(x)=r(\cos x+i\sin x)$ satisfait
l’équation différentielle ci-dessus. On a donc bien que les deux formes l’équation différentielle ci-dessus. On a donc bien que les deux formes
sont égales. sont égales.Remarquons que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x), x\in \real$ est la fameuse formule d'Euler.
#### Quelques notations et définitions #### Quelques notations et définitions
...@@ -2097,7 +2098,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}( ...@@ -2097,7 +2098,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
Exercice +.# Exercice +.#
Démontrer les trois relations précédentes. Démontrer ces trois relations.
--- ---
...@@ -2110,23 +2111,23 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -2110,23 +2111,23 @@ $$\begin{aligned}
Exercice +.# Exercice +.#
Démontrer ces deux relations. Démontrer ces relations.
--- ---
### Espaces vectoriels ### Espaces vectoriels
Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d’espaces Ici nous introduisons de façon très simplifiée le concept d’espace
vectoriels et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous vectoriel et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous
allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d’un espace plus grand allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire, c'est à dire par un nombre appartenant
$E$ (muni d’une addition et d’une multiplication). Dans notre cas $E$ à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ principalement. sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
Définition +.# Définition +.#
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteur et notés $v$, sont sont munis des opérations opérations appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les $+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les
propriétés suivantes propriétés suivantes
- -
...@@ -2158,8 +2159,8 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -2158,8 +2159,8 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
2. L’ensemble $V=E$ lui-même. En particulier $V={\real}$ ou 2. $V={\real}$ ou
$V={\mathbb{C}}$ avec l’addition et la multiplication usuelle. $V={\mathbb{C}}$ avec $E=\real$.
3. L’espace des $n-$uplets. Pour tout $n>0$, l’ensemble des $n-$uplets 3. L’espace des $n-$uplets. Pour tout $n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
d’éléments de $E$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\}_{i=1}^n\in E$, d’éléments de $E$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\}_{i=1}^n\in E$,
...@@ -2185,7 +2186,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -2185,7 +2186,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
$g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned} $g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned}
&(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\ &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
&f(\alpha\cdot x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W. &(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W.
\end{aligned}$$ \end{aligned}$$
5. Espace des applications linéaires. Soit $f$ une fonction de 5. Espace des applications linéaires. Soit $f$ une fonction de
......
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment