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Commit 3a762b6a authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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...@@ -1936,6 +1936,8 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned} ...@@ -1936,6 +1936,8 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\ (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$ &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
Exercice +.#
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\mathbb{R}}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\mathbb{R}}^2$.
Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de
...@@ -2070,15 +2072,27 @@ parties réelle et imaginaires d’un nombre complexe à l’aide de la ...@@ -2070,15 +2072,27 @@ parties réelle et imaginaires d’un nombre complexe à l’aide de la
notation du complexe conjugué notation du complexe conjugué
$${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(z-{\bar{z}}).$$ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(z-{\bar{z}}).$$
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Exercice +.#
Démontrer les trois relations précédentes. Démontrer les trois relations précédentes.
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Rajoutons encore la relation entre $e^{i\theta}$ et les $\cos,\sin$. Rajoutons encore la relation entre $e^{i\theta}$ et les $\cos,\sin$.
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\\ \cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\\
\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\end{aligned}$$ \sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\end{aligned}$$
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Exercice +.#
Démontrer ces deux relations. Démontrer ces deux relations.
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### Espaces vectoriels ### Espaces vectoriels
Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d’espaces Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d’espaces
...@@ -2087,6 +2101,8 @@ allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d’un espace plus grand ...@@ -2087,6 +2101,8 @@ allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d’un espace plus grand
$E$ (muni d’une addition et d’une multiplication). Dans notre cas $E$ $E$ (muni d’une addition et d’une multiplication). Dans notre cas $E$
sera ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ principalement. sera ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ principalement.
Définition +.#
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteur et notés $v$, sont sont munis des opérations opérations appelés vecteur et notés $v$, sont sont munis des opérations opérations
$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les $+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les
...@@ -2116,6 +2132,9 @@ propriétés suivantes ...@@ -2116,6 +2132,9 @@ propriétés suivantes
3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté 3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$ $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
Exemple (Espaces vectoriels) +.#
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
2. L’ensemble $V=E$ lui-même. En particulier $V={\mathbb{R}}$ ou 2. L’ensemble $V=E$ lui-même. En particulier $V={\mathbb{R}}$ ou
...@@ -2188,6 +2207,10 @@ Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire ...@@ -2188,6 +2207,10 @@ Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire
facilement les additions de vecteurs facilement les additions de vecteurs
$$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(u_2+v_2)\cdot e_2.$$ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(u_2+v_2)\cdot e_2.$$
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Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.#
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$ 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base. les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
...@@ -2195,14 +2218,20 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+( ...@@ -2195,14 +2218,20 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
$\sin$ et $\cos$ forment une base (voir plus de détails dans ce qui $\sin$ et $\cos$ forment une base (voir plus de détails dans ce qui
suit). suit).
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Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathémqtiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$. vectoriel sur $E$.
Définition (Famille libre) +.#
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.#
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$. 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$.
2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$. 2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$.
...@@ -2216,12 +2245,16 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ ...@@ -2216,12 +2245,16 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
relie les deux. La relation est non-linéaire relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$. $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
Définition (Famille génératrice) +.#
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si génératrice si
$$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i\cdot e_i.$$ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i\cdot e_i.$$
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$. linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.#
1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$. On ne 1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$. On ne
peut pas représenter tous les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$, peut pas représenter tous les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
$v_2\neq 0$. $v_2\neq 0$.
...@@ -2231,6 +2264,8 @@ linéaire des vecteur $e_i$. ...@@ -2231,6 +2264,8 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\mathbb{R}}^2$. ${\mathbb{R}}^2$.
Définition (Base) +.#
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
signifie qu’un vecteur $v\in V$ peut se représenter comme une signifie qu’un vecteur $v\in V$ peut se représenter comme une
...@@ -2239,6 +2274,8 @@ est unique ...@@ -2239,6 +2274,8 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$ $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$. 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$.
2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de 2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de
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