On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir:
\begin{enumerate}
\item 10 fois 6?
\item 4 fois 3, 3 fois 2 et 3 fois 1?
\item 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3, 1 fois 4, 1 fois 5, et 1 fois 6?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Exemple du lotto}
Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6,
qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac.
...
...
@@ -3847,6 +3924,84 @@ est de $p(G)=0.514$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\section{Variables aléatoires}
Lors d'une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque événement de l'univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel, $X(A)\in\real$.
Cette relation est définie par une fonction qui porte le nom de variable aléatoire et peut s'écrire mathématiquement sous la forme
\begin{equation}
X:\Omega\rightarrow\real.
\end{equation}
Afin de mieux comprendre ce concept voyons quelques exemples
\begin{enumerate}
\item[Le jeu de dé:] Lors d'un jet de dé unique l'univers est défini par $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. On peut de façon assez naturelle
définir notre variable aléatoire comme
\begin{equation}
X:i\rightarrow i.
\end{equation}
\item[Pile ou face:] Si nous lançons une pièce de monnaie les deux issues possibles sont pile $p$, ou face $f$ ($\Omega={p,f}$).
Nous pouvons définir la variable aléatoire $X$ comme
\begin{equation}
X:\left\{\begin{array}{l}
p\rightarrow 0\\
f\rightarrow 1
\end{array}\right.
\end{equation}
\item[Pile ou face fois deux:] Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues possibles sont $(p,p)$,
$(p,f)$, $(f,p)$, $(f,f)$. Nous pouvons définir la variable aléatoire $X$ comme
\begin{equation}
X:\left\{\begin{array}{l}
(p,p)\rightarrow 0\\
(p,f)\rightarrow 1\\
(f,p)\rightarrow 1\\
(f,f)\rightarrow 2
\end{array}\right.
\end{equation}
\end{enumerate}
Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité d'obtenir un certain résultat lors d'une expérience aléatoire, il en va de même
avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur donnée, $\alpha\in\real$ ou prenne une valeur incluse dans un intervalle $I\subseteq\real$.
Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions suivantes
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $1$?
\item Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur incluse dans $I=[0.6,3]$?
\item Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure à $2$?
\end{enumerate}
Prenons ces trois questions une par une
\begin{enumerate}
\item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun
des événement de l'univerrs étants équiprobables on a
\begin{equation}
p(X=1)=p(A)=1/2.
\end{equation}
\item Le seul événement donnant un $X$ qui n'est pas dans l'intervalle $J=[0.6,3]$ est $B=(p,p)$ ($X(B)=0$). On a donc que
\begin{equation}
p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.
\end{equation}
\item De façon similaire les trois énénements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
\begin{equation}
p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.
\end{equation}
\end{enumerate}
On constate au travers de ces trois exemples que la probabilité que la variable
aléatoire $X$ prenne une valeur particulière $\alpha$ ou soit dans un intervalle $I$
est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préimage de $\alpha$ ou d'un intervalle $I$.
On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$.
\begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la
préimage de $X$ sur tout intervale, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in\Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur
dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$
\begin{equation}
p(X\in I)=p(A).
\end{equation}
\end{definition}
\begin{definition}[Fonction de répartition] On dit que la fonction $F:\real\rightarrow\real$ est une \textit{fonction de répartition}
si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout $x\in\real$.
\end{definition}
Nous distinguons deux sortes de variables aléatoires différentes: les variables aléatoires discrètes et continues. Nous les discuterons brièvement dans les deux sous-sections suivantes.
