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Commit 8ddf4f30 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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corrections diveres et rajout d'un todo

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...@@ -27,7 +27,7 @@ Fonctions ...@@ -27,7 +27,7 @@ Fonctions
Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou
plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$ plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\mathbr{R}$. Les valeurs de $f$ constituent les {\it images} de $x$. Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\real$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
--- ---
Exemple (Fonctions, généralités) +.# Exemple (Fonctions, généralités) +.#
...@@ -91,16 +91,16 @@ Domaine de définition ...@@ -91,16 +91,16 @@ Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.# Définition (Domaine de définition) +.#
Le domaine de définition, noté $D\subset{\mathbb{R}}$, d’une fonction Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
--- ---
Exemple (Domaine de définition) +.# Exemple (Domaine de définition) +.#
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\mathbb{R}}$. 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\mathbb{R}}^\ast$. 2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est 3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
$D=[-1;10[\cup]10;\infty[$. $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
...@@ -110,7 +110,7 @@ Exemple (Domaine de définition) +.# ...@@ -110,7 +110,7 @@ Exemple (Domaine de définition) +.#
Limites Limites
------- -------
Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\mathbb{R}}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels. Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels.
### Limite ### Limite
...@@ -119,7 +119,8 @@ Définition (Limite) +.# ...@@ -119,7 +119,8 @@ Définition (Limite) +.#
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se raproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se raproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
C’est-à-dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes les valeurs C’est-à-dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes les valeurs
de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisament proches de $a$). C'est pas bon!!!! Fais un $epsilon$ , $delta$ pour que ça soit clair. De toute façon tu travailles dans $\mathbr{R}$ un espace métrique. de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisament proches de $a$).
<!-- TODO C'est pas bon!!!! Fais un $epsilon$ , $delta$ pour que ça soit clair. De toute façon tu travailles dans $\real$ un espace métrique. -->
Remarque +.# Remarque +.#
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
...@@ -266,7 +267,7 @@ Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. ...@@ -266,7 +267,7 @@ Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
Propriétés +.# Propriétés +.#
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables (dont les dérivées sont $f'$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
1. $(f+g)'=f'+g'$. 1. $(f+g)'=f'+g'$.
...@@ -280,7 +281,7 @@ et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors ...@@ -280,7 +281,7 @@ et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors
Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
$C\in {\mathbb{R}}$, nous avons $C\in {\real}$, nous avons
1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ . 1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
...@@ -358,7 +359,7 @@ Interprétation géométrique ...@@ -358,7 +359,7 @@ Interprétation géométrique
Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une
fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes. fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\mathbb{R}}$. 1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\real}$.
2. $f(x)$ est continue presque partout. 2. $f(x)$ est continue presque partout.
...@@ -462,17 +463,17 @@ du calcul d’une dérivée. ...@@ -462,17 +463,17 @@ du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.# Définition (Primitive) +.#
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\mathbb{R}}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in{\mathbb{R}}$ qui est aussi une telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in{\real}$ qui est aussi une
primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
Théorème (Unicité) +.# Théorème (Unicité) +.#
S’il existe $a\in D$ et $b\in{\mathbb{R}}$ alors il existe une unique S’il existe $a\in D$ et $b\in{\real}$ alors il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$. primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
--- ---
...@@ -494,7 +495,7 @@ fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*): ...@@ -494,7 +495,7 @@ fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$. 1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$.
2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\mathbb{R}}\backslash\{-1\}$. 2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
3. $F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x$. 3. $F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x$.
...@@ -510,7 +511,7 @@ Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous ...@@ -510,7 +511,7 @@ Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous
pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
1. $\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, 1. $\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$,
$n\in {\mathbb{R}}\backslash\{-1\}$. $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
2. $\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C$. 2. $\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C$.
...@@ -523,7 +524,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: ...@@ -523,7 +524,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.# Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\mathbb{R}}$ et $a<b$ de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$$
On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
...@@ -552,7 +553,7 @@ est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$. ...@@ -552,7 +553,7 @@ est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
Propriétés +.# Propriétés +.#
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\mathbb{R}}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\mathbb{R}}$. $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
On a On a
1. La dérivée et l’intégrale “s’annulent” 1. La dérivée et l’intégrale “s’annulent”
...@@ -640,7 +641,7 @@ fonctions particulières. ...@@ -640,7 +641,7 @@ fonctions particulières.
#### Polynômes #### Polynômes
Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
$\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\mathbb{R}}$ $$\begin{aligned} $\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
&\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\ &\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
=&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\ =&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
=&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$ =&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$
...@@ -1288,10 +1289,10 @@ version approximative et la discuter ...@@ -1288,10 +1289,10 @@ version approximative et la discuter
Théorème (Existence et unicité) +.# Théorème (Existence et unicité) +.#
Soit $D\subseteq{\mathbb{R}}$ le domaine de définition de la fonction Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\mathbb{R}}$ une fonction à valeur $y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
réelle continue et dérivable sur $D$, et réelle continue et dérivable sur $D$, et
$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\mathbb{R}}$ une fonction continue $f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\real}$ une fonction continue
sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de
Cauchy) $$\begin{aligned} Cauchy) $$\begin{aligned}
&y'=f(y,x),\\ &y'=f(y,x),\\
...@@ -1540,7 +1541,7 @@ Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des ...@@ -1540,7 +1541,7 @@ Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où $$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
$r\in{\mathbb{R}}$. $r\in{\real}$.
Cette équation peut également être réécrite sous la forme Cette équation peut également être réécrite sous la forme
$$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2} $$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
...@@ -1620,7 +1621,7 @@ différentielles que nous savons résoudre. Cela sera toujours des ...@@ -1620,7 +1621,7 @@ différentielles que nous savons résoudre. Cela sera toujours des
De façon générale ces équations s’écrivent De façon générale ces équations s’écrivent
$$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),$$ où $$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),$$ où
$a,b,c,d:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}$ sont des fonctions $a,b,c,d:{\real}\rightarrow{\real}$ sont des fonctions
réelles. Avant de résoudre l’équation générale, nous allons considérer réelles. Avant de résoudre l’équation générale, nous allons considérer
des plus simples. des plus simples.
...@@ -1640,7 +1641,7 @@ Propriétés +.# ...@@ -1640,7 +1641,7 @@ Propriétés +.#
Ces propriétés sont à démontrer en exercice. Ces propriétés sont à démontrer en exercice.
1. Soit $f(x)$ une solution de l'@eq:edo2_cch, alors 1. Soit $f(x)$ une solution de l'@eq:edo2_cch, alors
on a aussi que pour $C\in{\mathbb{R}}$ $Cf(x)$ est également on a aussi que pour $C\in{\real}$ $Cf(x)$ est également
solution de @eq:edo2_cch. solution de @eq:edo2_cch.
2. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l’équation 2. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l’équation
...@@ -1649,7 +1650,7 @@ Ces propriétés sont à démontrer en exercice. ...@@ -1649,7 +1650,7 @@ Ces propriétés sont à démontrer en exercice.
3. De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient 3. De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient
$f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'@eq:edo2_cch, $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'@eq:edo2_cch,
et $C_1,C_2\in{\mathbb{R}}$, alors on a que $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$ et $C_1,C_2\in{\real}$, alors on a que $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$
sont solution de l'@eq:edo2_cch. sont solution de l'@eq:edo2_cch.
--- ---
...@@ -1703,7 +1704,7 @@ $\Delta < 0$. ...@@ -1703,7 +1704,7 @@ $\Delta < 0$.
#### Le cas $\Delta>0$ #### Le cas $\Delta>0$
Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\mathbb{R}}$ sont réels. Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent) La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent)
$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$ $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
...@@ -1712,7 +1713,7 @@ $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$ ...@@ -1712,7 +1713,7 @@ $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
Dans ce cas, on a que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et est réel. Dans ce cas, on a que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et est réel.
Dans ce cas-là les choses se compliquent un peu. Si on utilisait Dans ce cas-là les choses se compliquent un peu. Si on utilisait
directement la formule ci-dessus, on aurait $$y(x)=Ce^{\lambda x},$$ directement la formule ci-dessus, on aurait $$y(x)=Ce^{\lambda x},$$
avec $C\in{\mathbb{R}}$. Par contre, cette solution ne peut pas avec $C\in{\real}$. Par contre, cette solution ne peut pas
satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment. satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
...@@ -1737,7 +1738,7 @@ exponentielle, on a $$\begin{aligned} ...@@ -1737,7 +1738,7 @@ exponentielle, on a $$\begin{aligned}
y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\ y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\
y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.\end{aligned}$$ En se rappelant de la y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.\end{aligned}$$ En se rappelant de la
linéarité des solutions des EDO linéaires, on peut écrire la forme linéarité des solutions des EDO linéaires, on peut écrire la forme
générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\mathbb{R}}$) générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\real}$)
$$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{ux}e^{ivx}+C_2e^{ux}e^{-ivx}=e^{ux}(C_1e^{ivx}+C_2e^{-ivx}).$${#eq:sol2} $$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{ux}e^{ivx}+C_2e^{ux}e^{-ivx}=e^{ux}(C_1e^{ivx}+C_2e^{-ivx}).$${#eq:sol2}
En utilisant la formule d’Euler $$\begin{aligned} En utilisant la formule d’Euler $$\begin{aligned}
...@@ -1899,12 +1900,12 @@ seront beaucoup utilisés dans cette section. ...@@ -1899,12 +1900,12 @@ seront beaucoup utilisés dans cette section.
### Les nombres réels ### Les nombres réels
L’ensemble des nombres réels, noté ${\mathbb{R}}$, possède un certain L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, possède un certain
nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition, la soustraction, nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition, la soustraction,
la multiplication, la division, etc qui prennent un couple de nombres la multiplication, la division, etc qui prennent un couple de nombres
réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned} réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned}
& +:{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\\ & +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\
& \cdot:{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\\\end{aligned}$$ & \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$
On peut donc noter l’addition de deux nombres réels $7$ et $2$ et de la On peut donc noter l’addition de deux nombres réels $7$ et $2$ et de la
définition de l’addition on a $$+(7,2)=9.$$ On lui préfère la notation définition de l’addition on a $$+(7,2)=9.$$ On lui préfère la notation
$$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la $$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la
...@@ -1917,21 +1918,21 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -1917,21 +1918,21 @@ $$\begin{aligned}
### Les couples de nombres réels ### Les couples de nombres réels
Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\mathbb{R}}$, Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\real}$,
soit ${\mathbb{R}}^2\equiv{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}$. Cet ensemble soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble
est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres
$z\in{\mathbb{R}}^2$ comme $z\in{\real}^2$ comme
$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\mathbb{R}}, \mbox{ et } b\in{\mathbb{R}}.$$ $$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$
Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition, la soustraction, Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition, la soustraction,
la multiplication, ... $$\begin{aligned} la multiplication, ... $$\begin{aligned}
& +:{\mathbb{R}}^2\times{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}^2,\\ & +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\
& \cdot:{\mathbb{R}}^2\times{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}^2.\end{aligned}$$ & \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$
On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels
sous la forme sous la forme
$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add} $$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add}
$$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult} $$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult}
On voit assez facilement que l’addition sur ${\mathbb{R}}^2$ a une forme On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme
très similaire à celle sur ${\mathbb{R}}$ du point de vue de ses très similaire à celle sur ${\real}$ du point de vue de ses
propriétés telles que la commutativité ou l’associativité. Cela est propriétés telles que la commutativité ou l’associativité. Cela est
moins clair pour la multiplication. Il est néanmoins assez simple de moins clair pour la multiplication. Il est néanmoins assez simple de
vérifier la commutativité $$\begin{aligned} vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
...@@ -1940,7 +1941,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned} ...@@ -1940,7 +1941,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
Exercice +.# Exercice +.#
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\mathbb{R}}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de
nombres où le deuxième nombre est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne nombres où le deuxième nombre est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
...@@ -1952,9 +1953,9 @@ $$(a,0)\cdot(b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0).$$ ...@@ -1952,9 +1953,9 @@ $$(a,0)\cdot(b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0).$$
On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres
dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard. dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard.
En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$ se En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se
comporte exactement comme ${\mathbb{R}}$. Il se trouve que comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve que
${\mathbb{R}}^2$ est un ensemble de nombre plus grand que ${\mathbb{R}}$ ${\real}^2$ est un ensemble de nombre plus grand que ${\real}$
et qui le contient entièrement. et qui le contient entièrement.
### Les nombres complexes ### Les nombres complexes
...@@ -1990,7 +1991,7 @@ Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$. ...@@ -1990,7 +1991,7 @@ Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$.
#### Interprétation géométrique #### Interprétation géométrique
Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
comme une “notation” de ${\mathbb{R}}^2$. On peut donc les représenter comme une “notation” de ${\real}^2$. On peut donc les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane). sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
![Représentation du nombre complexe ![Représentation du nombre complexe
...@@ -2101,7 +2102,7 @@ Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d’espaces ...@@ -2101,7 +2102,7 @@ Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d’espaces
vectoriels et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous vectoriels et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous
allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d’un espace plus grand allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d’un espace plus grand
$E$ (muni d’une addition et d’une multiplication). Dans notre cas $E$ $E$ (muni d’une addition et d’une multiplication). Dans notre cas $E$
sera ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ principalement. sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ principalement.
Définition +.# Définition +.#
...@@ -2139,7 +2140,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -2139,7 +2140,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
2. L’ensemble $V=E$ lui-même. En particulier $V={\mathbb{R}}$ ou 2. L’ensemble $V=E$ lui-même. En particulier $V={\real}$ ou
$V={\mathbb{C}}$ avec l’addition et la multiplication usuelle. $V={\mathbb{C}}$ avec l’addition et la multiplication usuelle.
3. L’espace des $n-$uplets. Pour tout $n>0$, l’ensemble des $n-$uplets 3. L’espace des $n-$uplets. Pour tout $n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
...@@ -2152,9 +2153,9 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -2152,9 +2153,9 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
$0_{E^n}=\underbrace{(0,0,...,0)}_{n}$. L’élément opposé de $v$ est $0_{E^n}=\underbrace{(0,0,...,0)}_{n}$. L’élément opposé de $v$ est
$-v=(-v_1,-v_2,...,-v_n)$. $-v=(-v_1,-v_2,...,-v_n)$.
Si $E={\mathbb{R}}$, alors on a l’espace Euclidien. Vous avez Si $E={\real}$, alors on a l’espace Euclidien. Vous avez
l’habitude de l’utiliser en 2D ou 3D quand vous considérez des l’habitude de l’utiliser en 2D ou 3D quand vous considérez des
vecteurs. Dans ce cas ${\mathbb{R}}^2$ ou ${\mathbb{R}}^3$ avec vecteurs. Dans ce cas ${\real}^2$ ou ${\real}^3$ avec
l’addition classique et la multiplication par un scalaire standard l’addition classique et la multiplication par un scalaire standard
forme un espace vectoriel. forme un espace vectoriel.
...@@ -2182,7 +2183,7 @@ Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectorielle et ...@@ -2182,7 +2183,7 @@ Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectorielle et
nous avons présenté quelques exemples. Reprenons l’exemple de l’espace nous avons présenté quelques exemples. Reprenons l’exemple de l’espace
Euclidien, soit l’espace des vecteurs comme vous en avez l’habitude. Euclidien, soit l’espace des vecteurs comme vous en avez l’habitude.
Limitons nous au cas où les vecteur sont bidimensionnels, soit Limitons nous au cas où les vecteur sont bidimensionnels, soit
$v=(v_1,v_2)$ avec $v_1,v_2\in{\mathbb{R}}$. D’habitude ces vecteurs $v=(v_1,v_2)$ avec $v_1,v_2\in{\real}$. D’habitude ces vecteurs
sont représentés dans le système de coordonnées cartésien où on a deux sont représentés dans le système de coordonnées cartésien où on a deux
vecteurs (de base) définis comme $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$ qui sont vecteurs (de base) définis comme $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$ qui sont
implicites. Par exemple, si $u=(4,5)$ cela signifie implicitement qu’on implicites. Par exemple, si $u=(4,5)$ cela signifie implicitement qu’on
...@@ -2193,8 +2194,8 @@ cartésienne.](figs/baseCart.pdf){#fig:baseCart width="35.00000%"} ...@@ -2193,8 +2194,8 @@ cartésienne.](figs/baseCart.pdf){#fig:baseCart width="35.00000%"}
De façon générale le vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement De façon générale le vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement
par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On
dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\mathbb{R}}^2$. En dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\real}^2$. En
d’autre terme n’importe quel vecteur $v\in{\mathbb{R}}^2$ peut être d’autre terme n’importe quel vecteur $v\in{\real}^2$ peut être
exprimé comme une combinaison linéaire de $e_1$ et $e_2$. exprimé comme une combinaison linéaire de $e_1$ et $e_2$.
Néanmoins, le choix de la base $e_1$ et $e_2$ est totalement arbitraire. Néanmoins, le choix de la base $e_1$ et $e_2$ est totalement arbitraire.
...@@ -2234,12 +2235,12 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ ...@@ -2234,12 +2235,12 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.# Exemple (Famille libre) +.#
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$. 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$. 2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ n’est pas une famille libre de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ n’est pas une famille libre de
${\mathbb{R}}^2$. En effet, ${\real}^2$. En effet,
$$1\cdot e_1+1\cdot e_2-1\cdot v=(0,0).$$ $$1\cdot e_1+1\cdot e_2-1\cdot v=(0,0).$$
4. $\{\sin(x),\cos(x)\}$ est une famille libre. On em peut pas écrire 4. $\{\sin(x),\cos(x)\}$ est une famille libre. On em peut pas écrire
...@@ -2257,14 +2258,14 @@ linéaire des vecteur $e_i$. ...@@ -2257,14 +2258,14 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.# Illustration (Familles génératrices) +.#
1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$. On ne 1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter tous les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$, peut pas représenter tous les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
$v_2\neq 0$. $v_2\neq 0$.
2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$. 2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\real}^2$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\mathbb{R}}^2$. ${\real}^2$.
Définition (Base) +.# Définition (Base) +.#
...@@ -2278,10 +2279,10 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. ...@@ -2278,10 +2279,10 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.# Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$. 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de 2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de
${\mathbb{R}}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par ${\real}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par
exemple que l’élément $v=(0,0)$ peut se représenter avec les exemple que l’élément $v=(0,0)$ peut se représenter avec les
coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
$\beta=(1,1,-1)$. $\beta=(1,1,-1)$.
...@@ -2551,12 +2552,12 @@ Propriété +.# ...@@ -2551,12 +2552,12 @@ Propriété +.#
transformée de Fourier est donnée par transformée de Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega)e^{i\omega t_0}.$$ $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega)e^{i\omega t_0}.$$
3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\mathbb{R}}$ et une 3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\real}$ et une
fonction $g(t)=e^{-i\omega_0 t}f(t)$, alors sa transformée de fonction $g(t)=e^{-i\omega_0 t}f(t)$, alors sa transformée de
Fourier est donnée par Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega+\omega_0).$$ $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega+\omega_0).$$
4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\mathbb{R}}^\ast$ et $g(t)=f(at)$ 4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\real}^\ast$ et $g(t)=f(at)$
alors sa transformée de Fourier est donnée par alors sa transformée de Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)=\frac{1}{|a|}{\hat{f}}(\omega/a).$$ En $${\hat{g}}(\omega)=\frac{1}{|a|}{\hat{f}}(\omega/a).$$ En
particulier, on a la propriété d’inversion du temps quand $a=-1$, on particulier, on a la propriété d’inversion du temps quand $a=-1$, on
...@@ -3235,7 +3236,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned} ...@@ -3235,7 +3236,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités* f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le
passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
$p(A),p(B)\in{\mathbb{R}}$ et $$\begin{aligned} $p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\ p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
p(\Omega)&=1,\\ p(\Omega)&=1,\\
...@@ -3785,9 +3786,9 @@ Variables aléatoires ...@@ -3785,9 +3786,9 @@ Variables aléatoires
Lors d’une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque Lors d’une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque
événement de l’univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel, événement de l’univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel,
$X(A)\in{\mathbb{R}}$. Cette relation est définie par une fonction qui $X(A)\in{\real}$. Cette relation est définie par une fonction qui
porte le nom de variable aléatoire et peut s’écrire mathématiquement porte le nom de variable aléatoire et peut s’écrire mathématiquement
sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\mathbb{R}}.$$ Afin de mieux sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\real}.$$ Afin de mieux
comprendre ce concept voyons quelques exemples comprendre ce concept voyons quelques exemples
1. Lors d’un jet de dé unique l’univers est défini par 1. Lors d’un jet de dé unique l’univers est défini par
...@@ -3813,8 +3814,8 @@ comprendre ce concept voyons quelques exemples ...@@ -3813,8 +3814,8 @@ comprendre ce concept voyons quelques exemples
Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité
d’obtenir un certain résultat lors d’une expérience aléatoire, il en va d’obtenir un certain résultat lors d’une expérience aléatoire, il en va
de même avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une de même avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une
valeur donnée, $\alpha\in{\mathbb{R}}$ ou prenne une valeur incluse dans valeur donnée, $\alpha\in{\real}$ ou prenne une valeur incluse dans
un intervalle $I\subseteq{\mathbb{R}}$. un intervalle $I\subseteq{\real}$.
Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple
ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions
...@@ -3852,9 +3853,9 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$. ...@@ -3852,9 +3853,9 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
Définition (Variable aléatoire) +.# Définition (Variable aléatoire) +.#
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle, *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
$I\subseteq{\mathbb{R}}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité $I\subseteq{\real}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la
probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
...@@ -3864,9 +3865,9 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ ...@@ -3864,9 +3865,9 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
Définition (Fonction de répartition) +.# Définition (Fonction de répartition) +.#
On dit que la fonction $F:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
$x\in{\mathbb{R}}$. $x\in{\real}$.
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