cours_20.md

title: "Arbres quaternaires et compression"
date: "2022-03-30"
patat:
  eval:
    tai:
      command: fish
      fragment: false
      replace: true
    ccc:
      command: fish
      fragment: false
      replace: true
  images:
    backend: auto

Le cours précédent

Questions

• Qu'est-ce qu'un arbre quaternaire?

. . .

• Un arbre où chaque noeud a soit 4 enfants soit aucun.
• A quoi peut servir un arbre quaternaire?

. . .

• Compression

Les arbres quaternaires

Définition

Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.

Les arbres quaternaires

Cas d'utilisation

Typiquement utilisés pour représenter des données bidimensionnelles.

Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun).

Cas d'utilisation: images

• Stockage: compression.
• Transformations: symétries, rotations, etc.

Cas d'utilisation: simulation

• Indexation spatiale.
• Détection de collisions.
• Simulation de galaxies, Barnes-Hut.

Exemple de compression

::: columns

:::: {.column width=30%}

Comment représenter l'image

::::

:::: {.column width=70%}

Sous la forme d'un arbre quaternaire (5min, matrix)?

. . .

Économie?

. . .

Image 64 pixels, arbre 25 noeuds.

::::

:::

Structure de données

::: columns

:::: {.column width=50%}

Pseudocode?

. . .

struct node
    info
    node sup_gauche, sup_droit,
        inf_gauche, inf_droit

::::

:::: {.column width=50%}

En C?

. . .

struct _node {
    int info;
    struct _node *sup_left;
    struct _node *sup_right;
    struct _node *inf_left;
    struct _node *inf_right;
};

• Pourquoi le * est important?

. . .

• Type récursif => taille inconnue à la compilation.

::::

:::

Une fonctionnalité simple

\footnotesize

La fonction est_feuille(noeud)

• Problème avec cette implémentation?

bool est_feuille(noeud) 
    retourne
        est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
        est_vide(sup_droit(noeud)) &&
        est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
        est_vide(inf_droit(noeud))

. . .

• Inutile d'avoir 4 conditions (soit 4 enfants soit aucun!)
• Facile d'en oublier un!
• Comment changer la structure pour que ça soit moins terrible?

. . .

struct node
    info
    node enfant[4]

Structure de données

En C?

. . .

typedef struct _node {
    int info;
    struct _node *child[4];
} node;

Fonction is_leaf(node *tree)?

. . .

bool is_leaf(node *tree) {
    return (NULL == tree->child[0]); // only first matters
}

Problème à résoudre

• Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
  • Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds),
  • Le remplir avec les valeurs des pixels.
• Compression de l'image:
  • Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
  • Si les pixels dévient pas trop on supprime le quadrant (avec perte)

Fonctions utiles (1/N)

Comment créer un arbre de profondeur prof (3min)?

. . .

arbre creer_arbre(prof)
    n = nouveau_noeud() # alloue la mémoire
    si prof > 0
        pour i = 0 à 3
            n.enfant[i] = creer_arbre(prof-1)
    retourne n

En C (3 min, matrix)?

. . .

node *qt_create(int depth) {
    node *n = calloc(1, sizeof(node));
    if (depth > 0) {
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            n->child[i] = qt_create(depth-1);
        }
    }
    return n;
}

Le nombre de noeuds?

Comment implémenter la fonction (pseudo-code, 5min, matrix)?

. . .

entier nombre_noeuds(arbre)
    si est_feuille(arbre)
        retourne 1
    sinon
        somme = 1
        pour i de 0 à 3
            somme += nombre_noeuds(arbre.enfant[i])
        retourne somme

Le nombre de noeuds?

Comment implémenter la fonction en C (3min, matrix)?

. . .

int size(node *qt) {
    if (is_leaf(qt)) {
        return 1;
    } else {
        int sum = 1;
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            sum += size(qt->child[i]);
        }
        return sum;
    }
}

La profondeur en C?

Implémentation (5min, matrix)

. . .

\footnotesize

int max(int x, int y) {
   return  (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
    int m = depths[0];
    for (int i = 1; i < 4; ++i) {
        m = max(m, depths[i]);
    }
    return m;
}
int depth(node *qt) {
    int depths[] = {0, 0, 0, 0};
    if (is_leaf(qt)) {
        return 0;
    } else {
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            depths[i] = depth(qt->child[i]);
        }
        return 1 + max_depth(depths);
    }
}

Fonctions utiles (2/N)

Comment remplir un arbre depuis une matrice?

   SG=0  |  SD=1
 21 | 12 | 4 |  4
  9 |  7 | 4 |  4
-----------------
  1 |  1 | 0 | 31
  1 |  1 | 3 | 27
   IG=2  |  ID=3

Quel arbre cela représente?

. . .

Fonctions utiles (3/N)

• On veut transformer une ligne/colonne en feuille.
• Comment?

::: columns

:::: {.column width=40%}

Soit ligne=2, colonne=3

   SG=0  |  SD=1
 21 | 12 | 4 |  4
  9 |  7 | 4 |  4
-----------------
  1 |  1 | 0 | 31
  1 |  1 | 3 | 27
   IG=2  |  ID=3

::::

:::: {.column width=70%}

Trouver un algorithme

• Quelle feuille?
• Plus important: quel chemin?

. . .

• co -> G/D, li -> S/I,
• 2 * (li / 2) + co / 2 -> 2 * 1 + 1 = 3
• 2 * ((li % 2) / 1) + (co % 2) / 1 -> 2 * 0 + 1 = 1
• Comment généraliser?

::::

:::

Fonctions utiles (4/N)

::: columns

:::: {.column width=40%}

Soit ligne=2, colonne=3

   SG=0  |  SD=1
 21 | 12 | 4 |  4
  9 |  7 | 4 |  4
-----------------
  1 |  1 | 0 | 31
  1 |  1 | 3 | 27
   IG=2  |  ID=3

::::

:::: {.column width=70%}

Trouver un algorithme (prendre plusieurs exemples, 15min, matrix)

• Comment généraliser?

. . .

noeud position(li, co, arbre)
    d = profondeur(arbre);
    tant_que (d > 1)
        index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
            (col % 2^d) / 2^(d-1)
        arbre = arbre.enfant[index]
        d -= 1
    retourn arbre

::::

:::

Fonctions utiles (4/N)

\footnotesize

Pseudocode

noeud position(li, co, arbre)
    d = profondeur(arbre);
    tant_que (d > 1)
        index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
            (col % 2^d) / 2^(d-1)
        arbre = arbre.enfant[index]
        d -= 1
    retourn arbre

Écrire le code C correspondant (5min, matrix)

Remplir l'arbre

A partir d'une matrice (pseudo-code, 5min, matrix)?

. . .

arbre matrice_à_arbre(matrice)
    arbre = creer_arbre(profondeur)
    pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
        pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
            noeud = position(li, co, arbre)
            noeud.info = matrice[co][li]
    retourne arbre

. . .

A partir d'une matrice (C, 5min, matrix)?

. . .

\footnotesize

node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
    node *qt = qt_create(depth);
    for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
        for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
            node *current = position(li, co, qt);
            current->info = matrix[li][co];
        }
    }
    return qt;
}

Remplir la matrice

A partir de l'arbre (pseudo-code, 3min, matrix)?

. . .

matrice arbre_à_matrice(arbre)
    pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
        pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
            noeud = position(li, co, arbre)
            matrice[co][li] = noeud.info
    retourne arbre

. . .

A partir de l'arbre (C, 3min, matrix)?

. . .

\footnotesize

void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co])
    for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
        for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
            node *current = position(li, co, qt);
            matrix[li][co] = current->info;
        }
    }

Transformations avec un arbre quaternaire

A faire

• Symétrie axiale (horizontale/verticale).
• Rotation quart de cercle (gauche/droite).
• Compression.

La symétrie verticale

Que donne la symétrie verticale de

   SG=0  |  SD=1
 21 | 12 | 4 |  4
  9 |  7 | 4 |  4
-----------------
  1 |  1 | 0 | 31
  1 |  1 | 3 | 27
   IG=2  |  ID=3

. . .

   SG=0  |  SD=1
  4 |  4 | 12 | 21
  4 |  4 |  7 |  9
------------------
 31 |  0 |  1 |  1
 27 |  3 |  1 |  1
   IG=2  |  ID=3

La symétrie d'axe vertical

Comment faire sur une matrice (3min, matrix)?

. . .

\footnotesize

matrice symétrie(matrice)
    pour i de 0 à nb_colonnes(matrice) / 2
        pour j de 0 à nb_lignes(matrice)
            échanger(matrice[i][j], matrice[nb_colonnes(matrice)-1-i][j])
    retourne matrice

La symétrie d'axe vertical

Comment faire sur un arbre?

• Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)

     SG=0  |  SD=1        SG=0  |  SD=1        
   21 | 12 | 4 |  4       4 | 4 | 12 | 21
    9 |  7 | 4 |  4       4 | 4 |  7 |  9
  -----------------  =>  ----------------
    1 |  1 | 0 | 31      31 | 0 |  1 |  1
    1 |  1 | 3 | 27      27 | 3 |  1 |  1
     IG=2  |  ID=3        IG=2  |  ID=3

• Écrire le pseudo-code (3min, matrix)

. . .

\footnotesize

arbre symétrie(arbre)
    si !est_feuille(arbre)
        échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[1])
        échanger(arbre.enfant[2], arbre.enfant[3])
        pour i de 0 à 3
            symétrie(arbre.enfant[i])
    retourne arbre

La symétrie d'axe horizontal

• Trivial de faire l'axe horizontal (exercice à la maison)

Rotation d'un quart de cercle

Comment faire sur un arbre?

• Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)

     SG=0  |  SD=1        SG=0  |  SD=1   
   21 | 12 | 4 |  4      4 |  4 | 31 | 27
    9 |  7 | 4 |  4      4 |  4 |  0 |  3
  -----------------  => ----------------- 
    1 |  1 | 0 | 31     12 |  7 |  1 |  1
    1 |  1 | 3 | 27     21 |  9 |  1 |  1
     IG=2  |  ID=3        IG=2  |  ID=3
  

• Écrire le pseudo-code (3min, matrix)

. . .

rien rotation_gauche(arbre) 
    si !est_feuille(arbre))
        échange_cyclique_gauche(arbre.enfant)
        pour i de 0 à 3
            rotation_gauche(arbre.enfant[i])

Rotation d'un quart de cercle

\footnotesize

Comment faire sur un arbre?

   SG=0  |  SD=1        SG=0  |  SD=1   
 21 | 12 | 4 |  4      4 |  4 | 31 | 27
  9 |  7 | 4 |  4      4 |  4 |  0 |  3
-----------------  => ----------------- 
  1 |  1 | 0 | 31     12 |  7 |  1 |  1
  1 |  1 | 3 | 27     21 |  9 |  1 |  1
   IG=2  |  ID=3        IG=2  |  ID=3

• Écrire le vrai (5min, matrix)

. . .

void rotate(node *qt) {
    if (!is_leaf(qt)) {
        node *tmp = qt->child[2];
        qt->child[2] = qt->child[0];
        qt->child[0] = qt->child[1];
        qt->child[1] = qt->child[3];
        qt->child[3] = tmp;
        for (int i=0;i < 4; i++) { 
            rotate(qt->child[i]);
        }
    }
}