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slides/cours_5.md
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...@@ -239,374 +239,3 @@ for (int i = 0; i < NX; ++i) { ...@@ -239,374 +239,3 @@ for (int i = 0; i < NX; ++i) {
A faire à la maison comme exercice! A faire à la maison comme exercice!
# And now for something completely different
\Huge La récursivité
# La factorielle: Code impératif
* Code impératif
```C
int factorial(int n) {
int f = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
f *= i;
}
return f;
}
```
# Exemple de récursivité (1/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On empile les appels
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | | `factorial(1)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# Exemple de récursivité (2/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On dépile les calculs
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `1` | | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# La récursivité (1/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
# La récursivité (2/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) { // Condition de récursivité
return n * factorial(n - 1);
} else { // Condition d'arrêt
return 1;
}
}
```
# La récursivité (3/4)
## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
. . .
Rappelez-vous vous l'avez fait en style **impératif** plus tôt.
. . .
```C
double epsilon_machine(double eps) {
if (1.0 + eps != 1.0) {
return epsilon_machine(eps / 2.0);
} else {
return eps;
}
}
```
# La récursivité (4/4)
\footnotesize
## Exercice: que fait ce code récursif?
```C
void recurse(int n) {
printf("%d ", n % 2);
if (n / 2 != 0) {
recurse(n / 2);
} else {
printf("\n");
}
}
recurse(13);
```
. . .
```C
recurse(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
recurse(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
recurse(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
recurse(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
// affiche: 1 1 0 1
```
. . .
Affiche la représentation binaire d'un nombre!
# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15
27 = 15 * 1 + 12
15 = 12 * 1 + 3
12 = 3 * 4 + 0
```
# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
## Effectuer l'empilage - dépilage
. . .
```C
PGCD(12, 3) | 3
PGCD(15, 12) | 3
PGCD(27, 15) | 3
PGCD(42, 27) | 3
```
# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
## Écrire le code
. . .
```C
int pgcd(int n, int m) {
if (n % m > 0) {
return pgcd(m, n % m);
} else {
return m;
}
}
```
# La suite de Fibonacci (1/2)
## Règle
$$
\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
$$
## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
. . .
## En récursif (6 lignes)
```C
int fib(int n) {
if (n > 1) {
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return n;
}
```
# La suite de Fibonacci (2/2)
## Et en impératif (11 lignes)
```C
int fib_imp(int n) {
int fib0 = 1;
int fib1 = 1;
int fib = n == 0 ? 0 : fib1;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
fib = fib0 + fib1;
fib0 = fib1;
fib1 = fib;
}
return fib;
}
```
# Exponentiation rapide
\Huge L'exponentiation rapide ou indienne
# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
## But: Calculer $x^n$
* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
}
double p = c;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
p = p * x; // x *= x
}
return x;
}
```
* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
. . .
* `n` assignations et `n` multiplications.
# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
* Proposez un algorithme naïf et récursif
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (n != 0) {
return x * pow(x, n-1);
} else {
return 1;
}
}
```
# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
$d\sim\log_2(n)$).
*
$$
x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
$$
* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
## Combien de calculs en terme de $n$?
. . .
* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
## Le vrai algorithme
* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\cdot x^{n/2}\right)$,
* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2=x\cdot x^{n-1}$.
## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
} else if (n % 2 == 0) {
return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
} else {
return x * pow(x, (n-1));
}
}
```
slides/cours_6.md
+ 374
− 2
View file @ 96d37991
--- ---
title: "Représentation des nombres" title: "Reécursivité, et représentation des nombres"
date: "2024-10-14" date: "2024-10-29"
--- ---
# La récursivité
\Huge La récursivité
# La factorielle: Code impératif
* Code impératif
```C
int factorial(int n) {
int f = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
f *= i;
}
return f;
}
```
# Exemple de récursivité (1/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On empile les appels
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | | `factorial(1)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# Exemple de récursivité (2/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On dépile les calculs
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `1` | | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# La récursivité (1/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
# La récursivité (2/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) { // Condition de récursivité
return n * factorial(n - 1);
} else { // Condition d'arrêt
return 1;
}
}
```
# La récursivité (3/4)
## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
. . .
Rappelez-vous vous l'avez fait en style **impératif** plus tôt.
. . .
```C
double epsilon_machine(double eps) {
if (1.0 + eps != 1.0) {
return epsilon_machine(eps / 2.0);
} else {
return eps;
}
}
```
# La récursivité (4/4)
\footnotesize
## Exercice: que fait ce code récursif?
```C
void recurse(int n) {
printf("%d ", n % 2);
if (n / 2 != 0) {
recurse(n / 2);
} else {
printf("\n");
}
}
recurse(13);
```
. . .
```C
recurse(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
recurse(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
recurse(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
recurse(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
// affiche: 1 1 0 1
```
. . .
Affiche la représentation binaire d'un nombre!
# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15
27 = 15 * 1 + 12
15 = 12 * 1 + 3
12 = 3 * 4 + 0
```
# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
## Effectuer l'empilage - dépilage
. . .
```C
PGCD(12, 3) | 3
PGCD(15, 12) | 3
PGCD(27, 15) | 3
PGCD(42, 27) | 3
```
# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
## Écrire le code
. . .
```C
int pgcd(int n, int m) {
if (n % m > 0) {
return pgcd(m, n % m);
} else {
return m;
}
}
```
# La suite de Fibonacci (1/2)
## Règle
$$
\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
$$
## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
. . .
## En récursif (6 lignes)
```C
int fib(int n) {
if (n > 1) {
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return n;
}
```
# La suite de Fibonacci (2/2)
## Et en impératif (11 lignes)
```C
int fib_imp(int n) {
int fib0 = 1;
int fib1 = 1;
int fib = n == 0 ? 0 : fib1;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
fib = fib0 + fib1;
fib0 = fib1;
fib1 = fib;
}
return fib;
}
```
# Exponentiation rapide
\Huge L'exponentiation rapide ou indienne
# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
## But: Calculer $x^n$
* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
}
double p = c;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
p = p * x; // x *= x
}
return x;
}
```
* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
. . .
* `n` assignations et `n` multiplications.
# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
* Proposez un algorithme naïf et récursif
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (n != 0) {
return x * pow(x, n-1);
} else {
return 1;
}
}
```
# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
$d\sim\log_2(n)$).
*
$$
x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
$$
* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
## Combien de calculs en terme de $n$?
. . .
* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
## Le vrai algorithme
* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\cdot x^{n/2}\right)$,
* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2=x\cdot x^{n-1}$.
## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
} else if (n % 2 == 0) {
return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
} else {
return x * pow(x, (n-1));
}
}
```
# Représentation des nombres # Représentation des nombres
\Huge La représentation des nombres \Huge La représentation des nombres
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