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    Contrôle 4
subtitle: Mathématiques en technologies de l'information 4 -- ISC_421
author:
    - Iliya Saroukhanian
lang: fr-CH
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# Polynômes de Taylor

![Graphiques de la fonction $f$ et de ses développements de Taylor en divers points](./figs/ex2_taylor.png)

## L'erreur maximale théorique

L'erreur $R_{f, n, a}$ commise en un point lors de l'évaluation du polynôme de
Taylor d'une fonction est définie de la sorte :

$$
R_{f, n, a}(x) = \lvert f(x) - T_{f, n, a}(x) \rvert
$$

Par conséquent, nous savons donc que l'erreur $R_{f, n, a}$ est bornée par la
plus grande valeur du $(n + 1)$-ème terme de la série de Taylor évaluée au un
point $\xi$ de l'intervalle $I$.

$$
R_{f, n, a}(x) \leq \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n + 1)}(\xi)(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \right|
$$

# Polynômes d'interpolation

Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
d'interpolation. Ceux-ci ont été calculées grâce a la fonction `lagrange`
proposée dans le module `scipy.interpolate`.

Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en subdivisant
l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de deux manières
différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage uniforme/équidistant.
Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev (comme vous avez pu le
deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).

Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation avec
la valeur de l'erreur commise en chaque point. 

![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}

Nous pouvons donc remarquer que plus le degré du polynôme d'interpolation
augmente, plus l'erreur commise lors de l'interpolation semble diminuer,
notamment en ce qui concerne la partie centrale de chaque graphique. Les divers
polynômes d'interpolation présentés ci-dessus ont d'ailleurs l'air de très bien
approximer la fonction $f$.

## Phénomène de Runge

Lorsqu'on calcule des polynômes d'interpolation dans un certain intervalle $I$
et avec un nombre de points croissants, on peut apercevoir un comportement
étrange au bord de cet intervalle. Plus le nombre de points augmente, plus
le polynôme a tendance à osciller fortement vers les extrémités de l'intervalle.

Sur la @fig-interpolate, il est possible de remarquer que les extrémités de
l'intervalle $I$ sont grandement affectées par le phénomène de Runge, notamment
la méthode d'interpolation avec une subdivision équidistante des points. On
remarque cela par le fait que la valeur de l'erreur commise (traitillé rouge,
pour le découpage équidistant) croît très violemment.

# Exercice 3

# Exercice 4

# Conclusion