feat: updated interpolation figure and added explanation for max theoritical...

feat: updated interpolation figure and added explanation for max theoritical error for a Taylor approximation

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 ![Graphiques de la fonction $f$ et de ses développements de Taylor en divers points](./figs/ex2_taylor.png)
 
-::: {#thm-taylor-errmax}
-
 ## L'erreur maximale théorique
 
-À défaut de ne pas vouloir recopier l'entièreté du polycopié de M. Baillif, je
-vais me restreindre à simplement copier-coller la formule en \text{\LaTeX} parce que
-ça fait toujours plaisir.
+L'erreur $R_{f, n, a}$ commise en un point lors de l'évaluation du polynôme de
+Taylor d'une fonction est définie de la sorte :
 
 $$
-R_{f, n, a}(x) = \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n + 1)}(\xi)(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \right|
+R_{f, n, a}(x) = \lvert f(x) - T_{f, n, a}(x) \rvert
 $$
-:::
-
-# Polynômes d'interpolation
-
-Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
-d'interpolation. Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en
-subdivisant l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de
-deux manières différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage
-uniforme / équidistant. Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev
-(comme vous avez pu le deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
-
-## Lagrange
 
-Le graphique ci-dessous met en avant l'interpolation par le polynôme de
-Lagrange.
+Par conséquent, nous savons donc que l'erreur $R_{f, n, a}$ est bornée par la
+plus grande valeur du $(n + 1)$-ème terme de la série de Taylor évaluée au un
+point $\xi$ de l'intervalle $I$.
 
-![Polynôme d'interpolation de Lagrange avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png)
-
-## Newton
+$$
+R_{f, n, a}(x) \leq \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n + 1)}(\xi)(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \right|
+$$
 
-Le graphique ci-dessous met en avant l'interpolation par le polynôme de
-Newton.
+# Polynômes d'interpolation
 
-![Polynôme d'interpolation de Newton avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/newton_interpolate.png)
+Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
+d'interpolation. Ceux-ci ont été calculées grâce a la fonction `lagrange`
+proposée dans le module `scipy.interpolate`.
+
+Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en subdivisant
+l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de deux manières
+différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage uniforme/équidistant.
+Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev (comme vous avez pu le
+deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
+
+Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation avec
+la valeur de l'erreur commise en chaque point. 
+
+![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}
+
+Nous pouvons donc remarquer que plus le degré du polynôme d'interpolation
+augmente, plus l'erreur commise lors de l'interpolation semble diminuer,
+notamment en ce qui concerne la partie centrale de chaque graphique. Les divers
+polynômes d'interpolation présentés ci-dessus ont d'ailleurs l'air de très bien
+approximer la fonction $f$.
+
+## Phénomène de Runge
+
+Lorsqu'on calcule des polynômes d'interpolation dans un certain intervalle $I$
+et avec un nombre de points croissants, on peut apercevoir un comportement
+étrange au bord de cet intervalle. Plus le nombre de points augmente, plus
+le polynôme a tendance à osciller fortement vers les extrémités de l'intervalle.
+
+Sur la @fig-interpolate, il est possible de remarquer que les extrémités de
+l'intervalle $I$ sont grandement affectées par le phénomène de Runge, notamment
+la méthode d'interpolation avec une subdivision équidistante des points. On
+remarque cela par le fait que la valeur de l'erreur commise (traitillé rouge,
+pour le découpage équidistant) croît très violemment.
 
 # Exercice 3