added charge discharge

06_cicruits_electriques.md

@@ -253,31 +253,117 @@ les courant n'est pas stationnaire (qu'il dépend du temps). Dans cette section
 
 ![Exemple de circuit RC.](figs/rc.svg){#fig:rc width=50%}
 
+### La charge du condensateur
+
 Quand le circuit RC est *fermé*, le courant s'établit dans le circuit, les charges vont
 se mettre en mouvement et s'accumuler sur le condensateur. Au fur et à mesure que les charges
 s'accumulent sur le condensateur, la tension entre les plaques augmente aussi (on se souvient
 de la fameuse formule $V_C=Q/C$) jusqu'à atteindre la valeur de celle de la source de voltage
 (la batterie). A ce moment là, il n'y a plus de courant et plus de différence de potentiel
 entre les bornes de la résistance. Le potentiel entre les plaques du condensateur
-est donné par l'équation
+est donné par l'équation (voir @fig:rc_charge)
 $$
 V_C=V(1-\exp{(-t/(RC))}).
 $$
 On voit bien qu'à $t=0$, le potentiel et nul et qu'avec $t\rightarrow \infty$ on tend vers $V_C=V$.
 
-```{.matplotlib #fig:rc_charge source=true format=SVG caption="Illustration de courant continu, et de courant alternatif."}
+---
+
+Question (Unités...) #
+
+Quelles sont les unités de $R\cdot C$?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Unités...) #
+
+Les unités de la résistance sont des Ohm, $[\Omega]=[\V]/[\A]$ et $[\A]=[\mathrm{C}]/[\mathrm{s}]$, et la capacité, des Farad, $[\mathrm{F}]=[\mathrm{C}]/[\V]$. Il vient que les unités de $R\cdot C$ sont des .... secondes!
+
+---
+
+On appelle
+$$
+\tau=RC,
+$$
+la constante de temps du circuit. Cette grandeur donne le temps caractéristique qu'il faut pour que la tension (et la charge) dans le condensateur atteigne $63\%$ de la valeur maximale de la tension de la batterie.
+
+---
+
+Exercice (preuve) #
+
+Pouvez vous prouver cette affirmation (sur les $63\%$ donc)?
+
+---
+
+```{.matplotlib #fig:rc_charge source=true format=SVG caption="Illustration de la charge du condensateur."}
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+import math
+
+V = 2.0
+R = 1.0
+C = 1.0
+t = np.linspace(0, 5*R*C, 500)  # Sample data.
+
+plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
+plt.plot(t, V*np.ones(t.size), label='max')  # Plot some data on the (implicit) axes.
+plt.plot(t, V*(1-np.exp(-t/(R*C))), label='charge')  # etc.
+plt.xlabel('temps [s]')
+plt.ylabel('tension [V]')
+plt.title("Tension du condensateur")
+plt.legend()
+```
+
+---
+
+Question (La charge dans le condensateur) #
+
+Comment calcule-t-on la charge dans le condensateur?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (La charge dans le condensateur) #
+
+Comme $Q=V_C\cdot C$, on a immédiatement que
+$$
+Q=Q_0(1-e^{-t/(RC)}),
+$$
+avec $Q_0=$V\cdot C$.
+
+---
+
+### La décharge du condensateur
+
+
+Maintenant que nous avons chargé le condensateur, si nous ouvrons le circuit celui-ci va se décharger. Si nous avons une tension $V_0$ dans le condensateur va se décharger en suivant une exponentielle décroissante (voir #fig:rc_decharge)
+$$
+V_C=V_0e^{-t/(RC)}.
+$$
+Comme pour la charge $\tau=RC$, nous donne le temps qu'il faut pour que la tension dans le condensateur diminue de $63\%$ de $V_0$. La charge dans le condensateur suit la même tendance, avec 
+$$
+Q=Q_0e^{-t/(RC)},
+$$
+où $Q_0=V_0 C$.
+
+
+```{.matplotlib #fig:rc_decharge source=true format=SVG caption="Illustration de la charge du condensateur."}
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 import math
 
-omega = 3.0
-t = np.linspace(0, 2, 500)  # Sample data.
+V = 2.0
+R = 1.0
+C = 1.0
+t = np.linspace(0, 5*R*C, 500)  # Sample data.
 
 plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
-plt.plot(t, 0.5*np.ones(t.size), label='continu')  # Plot some data on the (implicit) axes.
-plt.plot(t, np.sin(2*math.pi*omega*t), label='alternatif')  # etc.
+plt.plot(t, V*np.exp(-t/(R*C)), label='decharge')  # etc.
 plt.xlabel('temps [s]')
-plt.ylabel('courant [A]')
-plt.title("Courant continu/alternatif")
+plt.ylabel('tension [V]')
+plt.title("Tension du condensateur")
 plt.legend()
 ```
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