adding ode

02_lois_de_newton.md

@@ -910,8 +910,8 @@ sera plus élevée, plus faible, la même? Que se passe-t-il s'il y a une force
 
 Travail pratique (Calcul de force résultante) #
 
-Générer un tableau contenant $N$ particules représentées par leur masse $m_i$
-et leur position $\vec r_i$., sachant que:
+Générer un tableau contenant $N$ particules, numérotées $p_i$, représentées par leur masse $m_i$
+et leur position $\vec r_i$, sachant que:
 
 * La position des particules est aléatoire dans le domaine $[0, 10]\times[0, 10]\m^2$.
 * La masse des particules est aléatoire dans le domaine $[0,10]\kg$.
@@ -923,10 +923,10 @@ et leur position $\vec r_i$., sachant que:
     \end{equation}
     où $\vec F_{ij}$ est la force gravitationnelle entre la particule $i$ et la particule $j$, et est donnée par
     \begin{equation}
-    \vec F_{ij}=G\frac{m_i m_j}{||\vec r_{ij}||}\vec r_{ij},
+    \vec F_{ij}=G\frac{m_i m_j}{||\vec r_{ij}||^2}\vec r_{ij},
     \end{equation}
     où $\vec r_{ij}$ est le vecteur reliant la particule $i$ à la particule $j$.
-2. Si chaque particule a de plus une vitesse $\vec v_i$, calculer la force résultante sur chaque particule si $k=10 \kg/\s$.
+2. Si chaque particule, $p_i$, a de plus une vitesse $\vec v_i$, calculer la force résultante sur chaque particule si $k=10 \kg/\s$.
 
 ---
 
@@ -945,8 +945,16 @@ généraliser un petit pou tout ça, en supposant que la vitesse et l'accéléra
 également du temps, $\vec v(t)$ et $\vec a(t)$. Pour les besoins de ce cours, nous allons utiliser des
 *approximations* numérique des valeurs de $x(t)$, $v(t)$, et $a(t)$.
 
+Pour simplifier, nous allons *discrétiser* le temps. Au lieu de laisser le temps prendre n'importe quelle
+valeur réelle positive, $t\in\real^+$, il ne pourra prendre que les valeurs suivantes:
+\begin{equation}
+t_j=j\cdot \delta t,
+\end{equation}
+$\delta t>0$ étant le pas de discrétisation temporel et $j\in\integer^+$.
+
 ### Le mouvement sans accélération
 
-Supposons 
+Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec x(0)$ et sa vitesse
+en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec x(t_j)$