updated lois de newton

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02_lois_de_newton.md

@@ -916,8 +916,37 @@ et leur position $\vec r_i$., sachant que:
 * La position des particules est aléatoire dans le domaine $[0, 10]\times[0, 10]\m^2$.
 * La masse des particules est aléatoire dans le domaine $[0,10]\kg$.
 
-1. Calculer la force résultante dûe à l'attraction gravitationnelle sur chaque particule.
+1. Calculer la force résultante dûe à l'attraction gravitationnelle sur chaque particule
+
+    \begin{equation}
+    \vec F_i = \sum_{j=1,j\neq i}^N\vec F_{ij},
+    \end{equation}
+    où $\vec F_{ij}$ est la force gravitationnelle entre la particule $i$ et la particule $j$, et est donnée par
+    \begin{equation}
+    \vec F_{ij}=G\frac{m_i m_j}{||\vec r_{ij}||}\vec r_{ij},
+    \end{equation}
+    où $\vec r_{ij}$ est le vecteur reliant la particule $i$ à la particule $j$.
 2. Si chaque particule a de plus une vitesse $\vec v_i$, calculer la force résultante sur chaque particule si $k=10 \kg/\s$.
 
 ---
 
+## Les équations du mouvement
+
+Les lois de Newton, nous permettent de décrire des systèmes très complexes, comme le déplacement des planètes
+dans le système solaire, ou les gaz de particules. Dans cette section nous allons voir
+comment.
+
+Pour ce faire, nous allons considérer une particule $P$ en mouvement, qui est caractérisée par une position
+$\vec x(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement
+de $P$ en fonction du temps, en d'autre termes la valeur de $x(t)$ pour toute valeur de $t$.
+Il existe différents cas de figures, tels que mouvement rectiligne uniforme, ou le mouvement réctiligne uniformément
+accéléré, que vous connaissez qui permettent de résoudre exactement le mouvement de $P$. Ici, nous souhaitons
+généraliser un petit pou tout ça, en supposant que la vitesse et l'accélération de la particule dépendent
+également du temps, $\vec v(t)$ et $\vec a(t)$. Pour les besoins de ce cours, nous allons utiliser des
+*approximations* numérique des valeurs de $x(t)$, $v(t)$, et $a(t)$.
+
+### Le mouvement sans accélération
+
+Supposons 
+
+