added exercise

02_lois_de_newton.md

@@ -1096,6 +1096,63 @@ $$
 
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+Exercice (Mouvement parabolique) #
+
+Comparer la position d'un objet $\vec s_\mathrm{exact}$
+$$
+\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{\frac{1}{2}\vec a_x t^2+v_{0x} t}{\frac{1}{2}\vec a_y t^2+\vec v_{0y} t},
+$$
+soumis à une accélération 
+$$
+\vec a=\vectwo{0}{-10}\m/\s^2,
+$$
+et 
+$$
+\vec v_0=\vectwo{1}{1}\m/\s,
+$$
+après un temps $t=0.2\s$ et ce qu'on obtient avec l'équation de Verlet pour
+$\delta t=0.1$ et $\delta t=0.05$.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Mouvement parabolique) #
+
+Après $t=0.2\s$ l'ojet se trouve à
+$$
+\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{0.2}{0.0}\m.
+$$
+Pour l'approximation de Verlet, on doit d'abord initialiser le problème, soit calculer $\vec s_0=\vec s(t=0)$ et $\vec s_1(t=\delta t)$.
+On a 
+$$
+\vec s_0=\vectwo{0}{0}\m,
+$$
+et pour $\delta t=0.1$
+$$
+\vec s_1(\delta t=0.1)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.1}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.0}\m.
+$$
+On obtient donc pour $\vec s_2(t=2\delta 2)$ on a
+$$
+\vec s_2(\delta t=0.1)=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.0}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.2}{-0.1}\m.
+$$
+De même pour $\delta t=0.05$ on a
+$$
+\vec s_1(\delta t=0.05)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.05}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.05}{0.0025}\m.
+$$
+Et ensuite les différentes étape $\vec s_2=\vec s(t=2\delta t)$, 
+$\vec s_3=\vec s(t=3\delta t)$, $\vec s_4=\vec s(t=4\delta t)$
+\begin{align}
+\vec s_2(\delta t=0.05)&=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.025}\m,\\
+\vec s_3(\delta t=0.05)&=2\vec s_2-\vec s_1+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.05}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.15}{0.0}\m,\\
+\vec s_4(\delta t=0.05)&=2\vec s_3-\vec s_2+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.3}{0.0}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.2}{-0.05}\m.
+\end{align}
+On voit que bien que $\vec s_4(\delta t = 0.05)=\vectwo{0.2}{-0.05}$ soit toujours faux par rapport à la solution exacte, elle est plus proche de la solution que $\vec s_2(\delta t=0.1)=\vectwo{0.2}{-0.1}$. On constate également que si on a pas d'accélération, la position trouvée est **exacte**.
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 Travail pratique (Mouvement des particules) #
 
 1. Implémenter le mouvement des particules en utilisant les formules ci-dessus.