On peut facilement se convainque qu'au bout de $n$ jours, le
nombre de malades a atteint $3^n$. On a une croissance **exponentielle**
du nombre de malades.
Ce qu'on a fait ici comme modèle est un modèle compartimental (on a compartimenté la population):
on a divisé la population en une classe, celle des malades $M(t)$. Puis
on a adjoint une règle d'évolution à cette classe: chaque jour chaque malade infecte
deux nouvelles personnes. Ce modèle est très simpliste mais il illustre très bien
comment on constuit un modèle d'épidémie.
Par ailleurs, on peut se rendre compte que l'équation que nous avons écrite plus
haut décrit l'évolution du *taux de variation* de $M(t)$. En effet, en réarrangeant les termes de cette équation, on a que
$$
\underbrace{\frac{M(t+\delta t)-M(t)}{\delta t}}_{\mbox{taux de variation}}=2M(t).
$$
Si nous prenons la limite pour $\delta t\rightarrow 0$ des deux côtés
nous obtenons
$$
M'(t)=2M(t).
$$
Ceci est une **équation différentielle**.
## Modèles compartimentaux
Les modèles compartimentaux, créés autour des années 1920, sont des modèles
mathématiques permettant de représenter la propagation des épidémies.
Ces modèles divisent une population en plusieurs *classes* épidémiologiques (compartiments)
comme les individus sains mais susceptibles d'être infectés, les individus infectieux, et
les individus guéris (qui ont acquis une immunité suite à une infection). Ces trois compartiements
sont notés respectivement, $S$, $I$, et $R$. Il en existe d'autres, mais nous ne les
discuteront pas dans le cadre de cette petite introduction.
Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus,
Les modèles les plus avancés sont actuellement utilisés pour Ils sont actuellemen
