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01_rappel.md

+# Rappel
+
+## Fonctions
+
+Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe un résultat
+$$
+\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
+$$
+Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A\subseteq\real$. $A$ est le *domaine de définition* de $f$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
+
+---
+
+Exemple (Fonctions, généralités) +.#
+
+1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
+    $I$ $$\begin{aligned}
+    U=f(R,I)=R\cdot I.\end{aligned}$$
+
+2. Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu’on
+    ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs
+    mathématiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre
+    entier $x$ rend le prochain entier dont le nom commence par la même lettre
+    que $x$. $$f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...$$
+
+---
+
+Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul
+paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le
+résultat $y$, de façon générale on peut écrire $$y = f(x).$$ Si par
+ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer
+des compositions de fonction, qu’on note $g\circ f$, ou encore
+$$y=g(f(x)).$$
+
+---
+
+Exemple (Fonctions) +.#
+
+1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+    deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
+
+2. On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas
+    avec trois fonctions $f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et
+    $h(x)=1/x$ $$f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.$$
+
+---
+
+Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
+une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
+la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
+
+---
+
+Exemple (Fonction inverse) +.#
+
+1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
+    deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
+
+2. Soient $f(x)=x^2$ et $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+    deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|.$$ On a donc que
+    $\sqrt{x}$ est l’inverse de $x^2$ uniquement pour les réels
+    positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
+    On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle
+    elle satisfait la condition $x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$.
+    Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais $(f(-1)=f(1)=1$
+
+---
+
+## Domaine de définition
+
+
+Définition (Domaine de définition) +.#
+
+Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
+$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
+
+---
+
+Exemple (Domaine de définition) +.#
+
+1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
+
+2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
+
+3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
+    $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
+
+---
+
+## Limites
+
+Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide  et soient $a$ et $b$ deux réels.
+
+### Limite
+
+Définition (Limite) +.#
+
+Pour $f$ définie en $D$,  on dit que $b$ est la
+limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
+C’est-à-dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes  les valeurs
+de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisamment proches de $a$).
+
+La définition mathématique plus stricte est:
+
+*Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta >0$, tel que, pour tout $x\in D$ tel que $|x-a|<\delta$, on ait $|f(x)-a|<\varepsilon$.*
+
+Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
+
+$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
+
+Remarque +.#
+
+Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
+$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
+
+---
+
+Exemple (Limite) +.#
+
+Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
+
+---
+
+Définition (Limite, asymptote) +.#
+
+Pour $f$ définie en $D$,
+on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
+$[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de
+$a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
+
+---
+
+Exemple (Limite, asymptote) +.#
+
+Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
+
+---
+
+### Limite à gauche, limite à droite
+
+Il est possible que le comportement de certaines fonctions
+soit différent selon qu’on approche $a$  par la gauche ou par la
+droite (i.e. $f(x)=1/x$, pour $a=0$).
+
+On note la limite à droite $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la
+fonction $f$ en $a$.
+
+Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
+sont égales.
+
+Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
+
+Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
+
+### Comportement asymptotique
+
+Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
+fonctions quand $x\rightarrow\pm\infty$. Dans ces cas-là on dit qu’on
+s’intéresse au comportement *asymptotique* d’une fonction. Ce concept
+est particulièrement pertinent quand on étudie une fonction qui a la
+forme d’une fraction $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ Si on s’intéresse au
+comportement à l’infini de cette fonction on va prendre sa “limite”
+lorsque $x\rightarrow\infty$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right).$$
+Un exemple peut être $f(x)=x-1$, $g(x)=x+1$ et donc $h(x)=(x-1)/(x+1)$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x(1-1/x)}{x(1+1/x)}=1.$$
+De même quand on a $f(x)=3x^4-5x^3+1$, $g(x)=1$ et donc
+$h(x)=3x^4-5x^3+1$. Il vient donc
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4\left(1-\frac{5}{3x}+\frac{1}{3x^4}\right)=\infty.$$
+
+Si nous compliquons un peu l’exemple et que nous avons
+$f(x)=x^3+3x^2+1$, $g(x)=x^2$ et donc $h(x)=(x^3+3x^2+1)/x^2$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} (x^3+3x^2+1)/x^2=\lim_{x\rightarrow\infty} x=\infty.$$
+Un cas encore un peu plus complexe serait
+$f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
+$$
+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
+
+Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de
+performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
+de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne
+est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
+chaîne à trier. Si on fait le rapport pour de ces deux complexités on a
+$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{n\log(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\log(n)}.$$
+On peut simplement voir que ce rapport va tendre vers l’infini en
+dessinant la courbe $n/\log(n)$. Il existe un moyen “analytique”
+d’évaluer ce rapport. Tout nombre $n$ peut s’écrire avec une précision
+$p$ comme $$n=A\cdot 10^{p-1},$$ où $p$ est le nombre de chiffres
+significatifs qu’on veut représenter, et $1\leq A< 10$. On a également
+que[^1]
+$$\log(A)=\log\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1},$$
+avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
+$$\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.$$
+La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge
+vite vers une valeur finie et on peut faire l’approximation
+$$\log(n)\cong(p-1)\log(10),$$ pour $n$ grand (ce qui est équivalent à
+$p$ grand). On a donc que finalement le rapport $n/\log(n)$ va comme
+$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{(p-1)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{p}=\infty.$$
+
+## Continuité
+
+Définition (Continuité) +.#
+
+Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
+$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
+$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+
+Propriétés (Fonctions continues) +.#
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
+
+1. $f+g$ est continue en $a$.
+
+2. $b f$ est continue en $a$.
+
+3. si $g(a)\neq 0$, $f/g$ est continue en $a$.
+
+4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
+
+Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
+
+Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
+seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
+continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
+droite en $a$ et à gauche en $b$.
+
+Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
+
+Soit $f$ une fonction continue
+sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
+$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
+Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
+
+## Dérivées
+
+Définition (Dérivée en un point) +.#
+
+Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
+dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
+tel que $$\begin{aligned}
+&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
+&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
+
+Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
+
+Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
+la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
+point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
+
+Propriété +.#
+
+Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
+
+Propriétés +.#
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
+et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
+
+1. $(f+g)'=f'+g'$.
+
+2. $(af)'=a f'$.
+
+3. $(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
+
+4. Si $g$ ne s'annule pas  $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
+
+5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x)\cdot f'(x)$.
+
+Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
+régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
+$C\in {\real}$, nous avons
+
+1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
+
+2. $f(x)=e^{C x}$, $f'(x)=Ce^{Cx}$.
+
+3. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=1/x$.
+
+4. $f(x)=C$, $f'(x)=0$.
+
+5. $f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
+
+6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
+
+Définition (Dérivée seconde) +.#
+
+Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
+appelée la dérivée seconde de $f$.
+
+### Variation des fonctions
+
+Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
+
+Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
+
+1. Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
+
+2. Si $f'<0$ sur $D$, alors $f$ est décroissante sur $D$.
+
+3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
+
+Définition (Maximum/minimum local) +.#
+
+Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
+un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
+(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
+
+Propriété (Maximum/minimum) +.#
+
+Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
+admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
+$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
+maximum ou un minimum de $f$.
+
+## Etude de fonction
+
+Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
+$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
+
+1. Déterminer le domaine de définition.
+
+2. Déterminer la parité de la fonction. Rappel: $$\begin{aligned}
+      f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
+      f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
+     \end{aligned}$$
+
+3. Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels
+    que $f(x)=0$).
+
+4. Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou discontinuités,
+    ainsi que les asymptotes affines.
+
+5. Calculer $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques
+    (déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un
+    extremum, etc).
+
+6. Faire un croquis de $f(x)$.
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07_remerciements.md

+Remerciements
+=============
+
+Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
+qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
+continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
+Borel, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
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