mise a jour tp et corrige exos

exercices/fourier_serie1.md

@@ -97,13 +97,13 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
 La fonction étant impaire tous les termes $b_j$ sont nuls. Pour les termes $a_j$, il faut intégrer deux fois par parties et on trouve
 $$
 a_j=\frac{4(1-(-1)^j)}{\pi j^3},
 $$
-si $j\neq 0$ et $a_0=0$. -->
+si $j\neq 0$ et $a_0=0$.
 
 Exercice +.#
 
@@ -112,7 +112,7 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
 \end{equation}
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
 Cette fonction étant impaire, nous avons que tous les $b_j$ sont nuls.
 En utilisant l'identité trigonométrique 
@@ -124,7 +124,7 @@ qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le f
 \begin{align}
 a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\
 &=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
-\end{align} -->
+\end{align}
 
 Exercice +.#
 
@@ -133,9 +133,9 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
 \end{equation}
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
-Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours). -->
+Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours).
 
 # Transformées de Fourier
 
@@ -150,7 +150,7 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
 On sait que la transformée de Fourier d'une fonction $f$ est donnée par
 $$
@@ -164,7 +164,7 @@ Par parties, on obtient
 \begin{align}
 \hat f(\omega)&=\left.(1+x)e^{-i\omega x}\right|_{-1}^0-\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^0e^{-i\omega x}\dd x+\left.(1-x)e^{-i\omega x}\right|_{0}^1+\frac{1}{i\omega}\int_{0}^1e^{-i\omega x}\dd x,\nonumber\\
 &=2-\frac{1}{\omega^2}(1-e^{i\omega})+\frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega}-1).
-\end{align} -->
+\end{align}
  
 Exercice +.#
 
@@ -179,9 +179,9 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  \end{array}\right.
 \end{equation}
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
-Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s. -->
+Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s.
 
  
 # Transformées de Fourier discrète
@@ -190,7 +190,7 @@ Exercice +.#
 
 Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite $a=\{1, 0, 0, 1\}$.
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
@@ -206,13 +206,13 @@ Et ainsi de suite on obtient
 \hat f[1]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i/2}+f[2]e^{-\pi i}+f[3]e^{-3\pi i/2}=1+i,\\
 \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i}+f[2]e^{-2\pi i}+f[3]e^{-3\pi i}=0,\\
 \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{-3\pi i/2}+f[2]e^{-3\pi i}+f[3]e^{-9\pi i/2}=1-i.
-\end{align} -->
+\end{align}
  
 Exercice +.#
 
 Calculer la transformée de Fourier inverse discrète de la suite $b=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$.
 
-<!-- Corrigé +.#
+Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
@@ -228,4 +228,4 @@ Et ainsi de suite on obtient
 f[1]&=\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2}=2+i(-1-i)+(-i)(-1+i)=4,\\
 \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i}=2+(-1)(-1-i)-1(-1+i)=4,\\
 \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2}=2-i(-1-i)+i(-1+i)=0.
-\end{align} -->
\ No newline at end of file
+\end{align}
\ No newline at end of file