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exercices/fourier_serie1.md

@@ -52,13 +52,13 @@ Corrigé +.#
 
 On calcule les coefficients de la série de Fourier à l'aide des formules
 \begin{align}
-b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
-a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,
+a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
+b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,
 \end{align}
 où $T=2\pi$. On peut donc écrire
 \begin{align}
-b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
-a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x.
+a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
+b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x.
 \end{align}
 Comme $f(x)$ est paire, on a que les coefficients $a_j$ sont tous nuls. 
 Il nous reste à calculer 
@@ -109,7 +109,7 @@ Exercice +.#
 
 Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 \begin{equation}
-f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
+f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
 \end{equation}
 
 Corrigé +.#
@@ -130,7 +130,7 @@ Exercice +.#
 
 Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 \begin{equation}
-f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
+f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
 \end{equation}
 
 Corrigé +.#
@@ -216,7 +216,7 @@ Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
-f[n]=\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[n]e^{2\pi ink/N},
+f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[k]e^{2\pi ink/N},
 $$
 on peut calculer la TFD de $\hat f=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$ avec $N=4$.
 On obtient donc
@@ -225,7 +225,8 @@ f[0]=\hat f[0]+\hat f[1]+\hat f[2]+\hat f[3]=0.
 $$
 Et ainsi de suite on obtient
 \begin{align}
-f[1]&=\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2}=2+i(-1-i)+(-i)(-1+i)=4,\\
-\hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i}=2+(-1)(-1-i)-1(-1+i)=4,\\
-\hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2}=2-i(-1-i)+i(-1+i)=0.
+f[1]&=\frac{1}{4}(\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat 
+    f[3]e^{3\pi i/2})=\frac{1}{4}(2+i(-1-i)+(-i)(-1+i))=1,\\
+\hat f[2]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i})=\frac{1}{4}(2+(-1)(-1-i)-1(-1+i))=1,\\
+\hat f[3]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2})=\frac{1}{4}(2-i(-1-i)+i(-1+i))=0.
 \end{align}