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Commit c3ec3e25 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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ajout fin des idees de modelistaion et debut problemes

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Pipeline #
......@@ -1785,10 +1785,114 @@ $$
x_A\leq x_B.
$$
Si $A$ s'est produit, nous avons $x_A=1$, cela signifie que $x_B$ doit se produire également et donc $1\leq x_B$, $x_B$ doit forcément valoir $x_B=1$ sinon la contrainte n'est pas satisfaite. De façon similaire, si $B$ ne se produit pas ($x_B=0$), alors $A$ ne doit pas se produire, car $x_A\leq 0$. On a donc que $x_A=0$ obligatoirement.
- Soit $C$ un troisième événement et $x_C$ sa variable de décision binaire. Si $A$ se produit, alors $B$ ou/et $C$ doivent se produire:
$$
x_A\leq x_B+x_C.
$$
Souvent, il est utile de rajouter des variables même si cela complexifie *a priori* le problème. Cela permet néanmoins d'être plus expressif.
- Soient un nombre $N$ de fonctions linéaires $c_i x$,
$i=1, ..., N$. Si l'objectif est de maximiser la valeur minimale prise par cette ensemble de fonction, on peut rajouter une variable $y$ et l'ensemble de contraintes
$$
y\leq c_i x.
$$
La fonction objectif est elle-même modifiée et devient $\max y$.
- Soient $N$ contraintes
\begin{align}
&c_1 x\leq b_1,\\
&c_2 x\leq b_2,\\
&\cdots,\nonumber\\
&c_N x\leq b_N.
\end{align}
Si nous souhaitons en imposer un sous ensemble, $K$ en même temps. Nous pouvons définir une variable $M_i$ qui satisfera la $i$-ème contrainte
quelle que soit $x$
$$
c_i x\leq b_i+M_i,\quad\forall x.
$$
On définit également $y_i$, une variable binaire, pour chaque contrainte. Nous pouvons dès-lors réécrire les contraintes de la façon suivante
\begin{align}
&c_1 x\leq b_1+M_1y_1,\\
&c_2 x\leq b_2+M_2y_2,\\
&\cdots,\nonumber\\
&c_N x\leq b_N+M_Ny_N,\\
&\sum_{i=1}^N y_i = N-K.
\end{align}
---
Question +.#
Que se passe-t-il si $N=2$ et $K=1$?
---
Ci-dessous vous trouverez trois problèmes différents qu'il faudra modéliser.
---
Problème (Fabrication) +.#
Une entreprise produit des pizzas de luxe (LU) et "low-cost" (LC).
Elles sont toutes les deux fabriquées à partir des mêmes produits,
pâte, fromage, et jambon,
mais dans des proportions différentes qui sont résumées dans le tableau ci-dessous
+----------+--------+-------+
| | L | LC |
+==========+========+=======+
| Pâte | 1 | 3 |
+----------+--------+-------+
| Fromage | 2 | 1 |
+----------+--------+-------+
| Jambon | 2 | 1 |
+----------+--------+-------+
Chacune de ces matières premières est disponible en quantité limitée:
$1200\mathrm{kg}$ de pâte, $600\mathrm{kg}$ de fromage, et $400\mathrm{kg}$ de jambom. La pizza de luxe rapporte $10$ euros par kilo et la pizza low-cost rapporte $6$ euros par kilo. Calculer le nombre
de kilos de pizzas à produire de chaque type pour maximiser le rendement.
<!-- Modéliser le problème:
1. Déterminer les variables du problème.
2. Écrire la fonction objectif.
3. Ecrire les contraintes.
Le problème se résout de la façon suivante:
1. Les variables sont $x_i$ les quantités en kilos de pizzas du type $LU$ et $LC$ (on a donc $x_{LU}$, et $x_{LC}$).
2. La fonction objectif à maximiser est le rendement des pizzas:
$$
f(\vec x)=10\cdot x_{LU}+6\cdot x_{LC}.
$$
3. -->
---
---
Problème (Transport d'abricots) +.#
Une entreprise de fabrication de confitures d'abricots du Valais possède deux lieux de récoltes, à Sion et à Martigny. Elle doit transporter les abricots dans trois usines pour la fabrication des confitures, une à Genève, une à Olten et une à Lugano. L'usine de Genève a besoin de $4$ tonnes par semaine, celle d'Olten de $3$ tonnes et celle de Lugano de $2$ tonnes.
Le champs de Sion peut fournir $6$ tonnes et celui de Martigny $3$ tonnes.
Les coûts de transport entre les champs et les usines peuvent être représentés sous forme de tableau comme en milliers
de francs par tonnes.
+----------+--------+-------+--------+
| | Genève | Olten | Lugano |
+==========+========+=======+========+
| Sion | 4 | 5 | 2 |
+----------+--------+-------+--------+
| Martigny | 2 | 3 | 3 |
+----------+--------+-------+--------+
---
---
Exemple (Transport d'abricots) +.#
Problème (Transport d'abricots) +.#
Une entreprise de fabrication de confitures d'abricots du Valais possède deux lieux de récoltes, à Sion et à Martigny. Elle doit transporter les abricots dans trois usines pour la fabrication des confitures, une à Genève, une à Olten et une à Lugano. L'usine de Genève a besoin de $4$ tonnes par semaine, celle d'Olten de $3$ tonnes et celle de Lugano de $2$ tonnes.
Le champs de Sion peut fournir $6$ tonnes et celui de Martigny $3$ tonnes.
......
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