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slides/bst.md

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+title: Arbres de recherche binaires
+date: 2021-03-17
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+# Arbres binaires de recherche 
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+Qu'est-ce qu'un *arbre binaire de recherche* ou *binary search tree*?
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+## Définition
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+1. Arbre binaire: chaque nœud à **au plus** deux sommets enfants.
+2. Chaque nœud contient une clé.
+3. Pour chaque nœud, tous les nœud du **sous-arbre gauche** ont une clé 
+   inférieure ou égale au nœud considéré et tous les nœuds du **sous-arbre 
+   droit** du nœud considéré ont une clé supérieure ou égale au nœud considéré.
+
+La propriété 3 est connue sous le nom de propriété ABR (ou BST property).
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+## Utilité
+
+* Recherche de clé, *min/max*.
+* File de priorité.
+* Parcours ordonné (parcours infixe) => tri.
+
+# Exemple
+
+## Un arbre binaire de recherche d'entiers
+
+![Exemple d'ABR contenant 9 valeurs. Source: 
+Wikipedia.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Binary_search_tree.svg/1024px-Binary_search_tree.svg.png){width=60%}
+
+# Structure de données
+
+## Fonctionnalités importantes
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+\footnotesize
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+1. Insertion de clé
+2. Recherche de clé
+3. Suppression de clé
+
+## Récursivité
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+La propriété ABR est **récursive** (les sous-arbres doivent être ABR):
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+    * L'enfant de gauche est plus petit que nœud courant?
+    * L'enfant de droite est plus petit que nœud courant?
+    * Le sous-arbre de gauche/droite est-il ABR?
+
+<!-- ```C -->
+<!-- bool is_bst(tree) { -->
+<!--   if (is_empty(tree)) return true; -->
+<!--   // l'enfant de gauche est plus grand => faux -->
+<!--   if (!is_empty(tree.left) && tree.left.key > tree.key) return false; -->
+<!--   // l'enfant de droite est plus petit => faux -->
+<!--   if (!is_empty(tree.right) && tree.right.key < tree.key) return false; -->
+<!--   // récursivement si les sous-arbres sont pas des ABR -->
+<!--   if (!is_bst(tree.left) || !is_bst(tree.right)) return false; -->
+<!-- } -->
+<!-- ``` -->
+
+# L'insertion
+
+\footnotesize
+
+Insertion récursive:
+
+```C
+tree insert(tree, key) {
+    // fin de la récursion, on crée le noeud et retourne
+    si l'arbre est vide:
+        return create_node(key);
+    // recherche d'où insérer
+    si la clé est plus petite que le noeud courant:
+        si le sous-arbre gauche est vide:
+            sous-arbre gauche = create_node(key);
+        sinon:
+            return insert(tree, key);
+    si la clé est plus grande que le noeud courant:
+        si le sous-arbre droit est vide:
+            sous-arbre droit = create_node(key);
+        sinon:
+            return insert(tree, key);
+    // on retourne l'arbre!
+    return tree;
+}
+```
+
+
+