Merge branch 'master' of ssh://ssh.hesge.ch:10572/orestis.malaspin/isc_physics

00_macros.md

@@ -32,6 +32,7 @@
 \newcommand{\oK}{^\circ\mathrm{K}}
 \newcommand{\A}{\mathrm{A}}
 \newcommand{\N}{\mathrm{N}}
+\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
 \newcommand{\atm}{\mathrm{atm}}
 \renewcommand{\bar}{\mathrm{bar}}
 \newcommand{\V}{\mathrm{V}}
@@ -43,4 +44,4 @@
 \newcommand{\h}{\mathrm{h}}
 \newcommand{\Pa}{\mathrm{Pa}}
 \newcommand{\vectwo}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
-\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}}
\ No newline at end of file
+\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}}

04_potentiel_electrique.md

@@ -391,3 +391,235 @@ les variations trop rapides de puissance électrique et ainsi protègent les
 circuits. On a pu aussi les utiliser pour la mémoire des ordinateurs dans des 
 versions miniaturisées. 
 
+Les capacités sont représentées dans des circuits électriques pas un symbole 
+comme si la @fig:cap_symbol
+
+![Un symbole représentant une capacité dans un circuit 
+électrique.](figs/cap_symbol.svg){#fig:cap_symbol width=50%}
+
+Si on applique un voltage (un potentiel), $V$, entre les deux plaques en les 
+connectant à une batterie ou à une prise électrique par exemple, une des deux 
+plaques va être chargée négativement tandis que l'autre sera chargée 
+positivement avec des charges respectivement $-Q$ et $Q$. La charge du 
+condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel au bords du 
+condensateur, ici c'est $V$, le potentiel de la batterie ou de la prise. On a 
+que
+$$
+Q=C\cdot V,
+$$
+où $C$ est la capacité du condensateur et qui a des unités de Coulombs par 
+Volts, appelés *farad*, $[\mathrm{F}]$. Les capacités standards se situent 
+entre $1\mathrm{pF}=10^{-12}\mathrm{F}$ et 
+$1\mu\mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$.
+
+Ici, nous voyons facilement qu'on pourrait aisément confondre la capacité $C$, 
+avec les unités $\C$, (les Coulombs) et le voltage $V$ avec les volts. C'est un 
+peu malheureux, mais il faudra être un peu vigilant pour éviter les erreurs 
+malencontreuses. 
+
+La capacité, $C$, ne dépend en général ni du voltage, ni de la charge du 
+condensateur. Elle ne dépend que de la forme et de la surface des plaques ainsi 
+que de la distance entre elles et le matériau qui les sépare. Ainsi pour des 
+plaques parallèles de surface $S$ et séparées par une distance $d$, on a
+$$
+C=\epsilon_0\frac{S}{d},
+$$
+où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide qu'on a déjà vu plus tôt dans ce 
+condensateurs
+$$
+\epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\N\cdot \m^2}.
+$$
+
+
+---
+
+Exemple (Application de formules) #
+
+1. Calculer la capacité d'un condensateur donc les plaques rectangulaire ont 
+   des dimensions de $10\cm\times 5\cm$ et sont séparées d'une distance de 
+   $1\mm$.
+2. Quelle est la charge des plaques si on connecte la capacité à une batterie 
+   de $12\V$, quelle sera la charge des plaques?
+3. Quelle est le champs électrique entre les plaques?
+4. Quelle devrait être la distance entre les plaques pour avoir une capacité de 
+   $1\F$?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Application de formules) #
+
+1. La surface du condensateur est de $S=0.1\cdot 0.05=5\cdot10^{-3}\m^2$. On 
+   peut en déduire la capacité via
+\begin{equation}
+    C=\epsilon_0\frac{S}{d}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot 
+    10^{-5}}{10^{-3}}=44.3\mathrm{pF}.
+\end{equation}
+2. La charge des plaque est donnée par
+$$
+Q=C\cdot V=44.3\cdot 10^{-12}\cdot 12=5.31\cdot 10^{-10}\C.
+$$
+3. Le champs électrique uniforme généré par les plaques est donné par
+$$
+E=\frac{V}{d}=\frac{12}{10^{-3}}=1.2\cdot 10^4\frac{\V}{\m}.
+$$
+4. En réutilisant la même équation que pour la question (1), on peut écrire
+$$
+d=\epsilon_0\frac{S}{C}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot 10^{-3}}{1}=8.85\cdot 
+10^{-15}\m.
+$$
+On voit donc qu'une capacité de $1\F$ est une quantité assez monstrueuse qu'il 
+n'est pas possible de produire avec une aussi petite surface.
+En gardant une distance de $1\mm$, on pourrait avoir une capacité de $1\F$ en 
+augmentant la surface à
+$$
+S=\frac{Cd}{\epsilon_0}=\frac{10^{-3}}{8.85\cdot 10^{-12}}=1.13\cdot 
+10^{8}\m^2,
+$$
+soit un carré de $10\km$ de côté...
+
+---
+
+Il existe une grande quantité d'applications pour les condensateurs: ils 
+peuvent servir de remplacement pour les batteries, sont à la base du 
+fonctionnement des microphones ou des touches de certains claviers.
+
+---
+
+Illustration (Touche de clavier) #
+
+Une touche de clavier, dans certains cas, peut être attachée à une plaque de 
+condensateur mobile, alors que la seconde est fixe. Entre les plaques est situé 
+un isolant qui a des propriétés élastiques. Lorsque la touche est pressée, 
+l'isolant se comprime et la distance entre les plaques du condensateurs change. 
+Cela modifie le champs électrique entre les plaques du condensateur qui peut 
+ensuite être détecté par un circuit électrique.
+
+---
+
+La charge d'un condensateur est reliée à la tension maximale qui peut être 
+appliquée entre ses plaques, sans que la charge puisse traverser  et former un 
+arc électrique (comme cela se produit lorsque la charge passe des nuages à la 
+terre lors d'un orage). Ce phénomène s'appelle claquage électrique.
+Cette tension dépend du matériau séparant les deux plaques.
+
+Jusqu'ici, nous avons supposé qu'il y a de l'air (ou du vide) entre les plaques 
+d'un condensateur. En général, on insère un isolant, comme du plastique, entre 
+les plaques. Cet isolant est appelé un *diélectrique*. 
+
+Le diélectrique a plusieurs propriétés intéressantes:
+
+1. Le diélectrique est en général plus isolant que l'air, car il empêche les 
+   charges de se déplacer aussi librement. Ainsi, il est possible 
+   d'accumuler un plus grand voltage entre les plaques.
+2. De même, les plaques du condensateurs peuvent être plus rapprochées sans que 
+   les charges passent d'une plaque à l'autre. En rendant $d$ plus faible on 
+   augmente la capacité.
+3. On s'est rendu compte expérimentalement que la capacité d'un condensateur 
+   est augmentée proportionnellement par un facteur $K$, la *constante 
+   diélectrique*, ne dépendant que du diélectrique. On a donc que
+$$
+C=K\epsilon_0\frac{S}{d}=\epsilon\frac{S}{d},
+$$
+avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité du diélectrique. Pour l'air ou le 
+vide on a que $K=1$. Comme on l'a très brièvement discuté plus haut, il y a une 
+valeur maximale du champs électrique qui s'applique entre les plaques d'un 
+condensateur. Au delà, les charges peuvent passer entre les plaques. Cette 
+valeur limite du champs est appelée *rigidité diélectrique* et peut varier 
+grandement. Pour l'air elle est de $3\cdot 10^6\V/\m$, alors que pour du 
+plastique elle est de l'ordre de $50\cdot 10^6\V/\m$ pour $K\cong 4$.
+
+---
+
+Question (Insertion de diélectrique à $V$ constant) #
+
+Soit un condensateur composé de deux plaques séparées d'une distance $d$ et 
+connecté à une batterie de voltage constant $V$ qui acquière une charge $Q$. Si 
+on insère un diélectrique avec $K>1$ entre les plaques, est-ce que $Q$ va 
+augmenter, diminuer, ou rester le même?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Insertion de diélectrique à $V$ constant) #
+
+Le voltage $V$ reste constant, alors que $C$ augmente à cause de la relation 
+$C=K\epsilon_0 S/d$. On déduit donc de la relation $Q=CV$ que $Q$ doit 
+augmenter pour $K>1$. Ainsi, quand on insère un diélectrique dans un 
+condensateur plus de charges seront retirées de la batterie pour être amenées 
+sur les plaques du condensateur.
+
+---
+
+---
+
+Question (Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) #
+
+Soit un condensateur composé de deux plaques séparée par de l'air, chargé à une 
+charge $Q$ et déconnecté de la batterie. On insère ensuite un diélectrique avec 
+$K>1$. Est-ce que $Q$, $V$, ou $C$ vont changer?
+
+---
+
+---
+
+Réponse(Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) #
+
+La charge $Q$ reste la même comme le condensateur est isolé du reste du monde. 
+La capacité elle augmente à cause de la permittivité augmentée. Ainsi la 
+tension entre les plaque diminue à cause de $V=Q/C$.
+
+---
+
+### Description moléculaire des diélectriques
+
+D'un point de vue phénoménologique, il est intéressant de comprendre pourquoi 
+la présence d'un diélectrique augment la capacité d'un condensateur. Un 
+condensateur dont les plaques sont séparées par de l'air aura une capacité 
+$C_0$ et s'il est soumis à une tension $V_0$ aura une charge $Q$. Si nous 
+insérons un diélectrique entre les plaques, à cause du champs électrique entre 
+les plaques, les charges à l'intérieur du diélectrique vont se déplacer 
+légèrement (les électrons vont s'approcher de la charge positive et laissant 
+les protons plus proches de la charge négative). Cela va créer une petite 
+charge nette négative du côté de la plaque positive et une petite charge 
+positive du côté de la plaque négative. Cela aura pour effet "d'annuler" 
+certaines lignes de champs à l'intérieur du diélectrique (mais pas toutes) et 
+ainsi le voltage est également réduit (pour une charge constante).
+
+<!-- TODO Maybe add storage of energy (maybe it's too muche) -->
+
+
+## Résumé
+
+Dans ce chapitre nous avons vu les concepts suivants:
+
+* Le potentiel électrique est l'énergie potentielle électrique par unité de 
+  charge.
+* La différence de potentiel électrique entre deux points est défini par le 
+  travail nécessaire pour déplacer une charge de $1\C$ entre ces deux points 
+  et est mesurée en volts, $\V=\J/\V$.
+* La différence de potentiel entre deux points, $A,B$, dans un champs 
+  électrique uniforme $E$ est donnée par
+
+  $$V=-E\cdot d,$$
+  avec $d$ la distance entre $A$ et $B$.
+* Une charge $Q$ engendre un potentiel électrique
+$$
+V=k\frac{Q}{r}.
+$$
+* Un condensateur est un système composé de deux conducteurs séparé par un 
+  isolant.
+* La capacité, $C$, d'un condensateur se définit en fonction de sa charge et du 
+  potentiel entre les deux conducteurs
+  $$
+  C=Q/V.
+  $$
+* Elle peut également se définir par des considérations géométriques et des 
+  propriétés intrinsèques de l'isolant
+  $$
+  C=\epsilon\frac{S}{d},
+  $$
+  avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité de l'isolant, $d$ la distance 
+  entre les conducteurs, et $S$ leurs surface.

figs/cap_symbol.svg

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