introduced the coeffs

covid/01_covid.md

@@ -62,8 +62,10 @@ nous obtenons
 $$
 M'(t)=2M(t).
 $$
-Ceci est une **équation différentielle**.
-
+Ceci est une **équation différentielle**, une équation dont l'inconnue est une fonction
+et qui relie sa forme avec ses dérivées. Nous allons utiliser
+ce type d'équations pour voir un modèle un peu plus réaliste de modèle
+d'épidémies dans la section suivante.
 
 ## Modèles compartimentaux
 
@@ -73,10 +75,25 @@ Ces modèles divisent une population en plusieurs *classes* épidémiologiques (
 comme les individus sains mais susceptibles d'être infectés, les individus infectieux, et
 les individus guéris (qui ont acquis une immunité suite à une infection). Ces trois compartiements
 sont notés respectivement, $S$, $I$, et $R$. Il en existe d'autres, mais nous ne les
-discuteront pas dans le cadre de cette petite introduction.
+discuterons pas dans le cadre de cette petite introduction.
+
+Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus, nous voulons
+décrire les transitions entre les patients sains (susceptibles d'attraper la maladie) et inféctieux,
+$$
+S\rightarrow I,
+$$
+puis entre infectieux et guéris
+$$
+S\rightarrow I.
+$$
+
+La transition $S\rightarrow I$ est décrite par le taux de transmission de la maladie, $\beta\cdot I$. $\beta$ est le nombre de contacts par personne multipliée par la probabilité de transmission de la maladie quand une personne infectieuse rencontre une personne susceptible d'attraper la malade.
+
+De même la transition $I\rightarrow R$ est donnée par $\lambda=1/d$, le taux de guérison (ou de mort) qui est simplement
+l'inverse du temps nécessaire à la guérison (ou à la mort).
+
+
 
-Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus, 
 
-Les modèles les plus avancés sont actuellement utilisés pour Ils sont actuellemen