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slides/.clang-format 0 → 100644
View file @ febfc3f8
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...
slides/.gitignore
View file @ febfc3f8
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*.err
*.markdown
*.html
index.md
diagram*.pdf
cours*.pdf
intro.pdf
mermaid-filter.err
.puppeteer.json
slides/Makefile
View file @ febfc3f8
......@@ -18,14 +18,15 @@ all: puppeteer $(PDF)
# all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf
docker: docker-compose.yml
docker-compose run slides
docker compose run slides
docker_clean: docker-compose.yml
docker-compose run slides clean
docker compose run slides clean
puppeteer:
@echo "Setting chromium to $(CHROMIUM) for puppeteer"
@echo -e "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
# @echo "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
index.md: gen_index.sh
$(shell ./gen_index.sh)
......
slides/cours_1.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2023-09-19"
title: "Introduction aux algorithmes I"
date: "2024-09-16"
---
# Qu'est-ce qu'un algorithme?
......
slides/cours_10.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Piles"
date: "2023-12-05"
title: "Backtracking et piles"
date: "2024-12-02"
---
# Rappel
# Le problème des 8-reines
## Qu'est-ce qu'une pile?
\Huge Le problème des 8-reines
# Problème des 8-reines
* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
## Conséquence
* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
## Généralisation
* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
N$.
- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
![Problème des 8-reines. Source:
[wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_huit_dames)](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
# Problème des 2-reines
![Le problème des 2 reines n'a pas de solution.](figs/2reines.svg){width=50%}
# Comment trouver les solutions?
* On pose la première reine sur la première case disponible.
* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
possibilité de poser une reine.
* On recommence depuis là.
. . .
* Structure de données LIFO.
* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
reines.
# Problème des 3-reines
![Le problème des 3 reines n'a pas de solution non plus.](figs/3reines.svg)
# Problème des 4-reines
![Le problème des 4 reines a une solution.](figs/4reines.svg)
# Problème des 4-reines, symétrie
![Le problème des 4 reines a une autre solution (symétrie
horizontale).](figs/4reines_sym.svg)
# Problème des 5 reines
## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
matrix.
```C
## Quelles fonctionnalités?
```
# Quelques observations sur le problème
* Une reine par colonne au plus.
* On place les reines sur des colonnes successives.
* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
* Trois étapes:
* On place une reine dans une case libre.
* On met à jour le tableau.
* Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
a réussi.
# Le code du problème des 8 reines (1/5)
## Quelle structure de données?
. . .
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retrouner.
3. Liste vide? (is_empty?).
4. Jeter un oeil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
5. Nombre d'éléments (length).
Une matrice de booléens fera l'affaire:
# Structure de données (1/2)
```C
bool board[n][n];
```
## Struct `stack`
## Quelles fonctionnalités?
. . .
```C
#define MAX_CAPACITY 500
typedef struct _stack {
int data[MAX_CAPACITY]; // les données
int top; // indice du sommet
} stack;
// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
// et compter les solutions
void nbr_solutions(board, column, counter);
// Copier un tableau dans un autre
void copy(board_in, board_out);
// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
void placer_devant(board, li, co);
```
# Structure de données (2/2)
# Le code du problème des 8 reines (2/5)
## Fonctions `stack`
## Le calcul du nombre de solutions
. . .
```C
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
rien nbr_solutions(board, column, count)
pour chaque ligne
si la case libre
si column < n - 1
copier board dans un "new" board,
y poser une reine
et mettre à jour ce "new" board
nbr_solutions(new_board, column+1, count)
sinon
on a posé la n-ème et on a gagné
count += 1
```
# Le code du problème des 8 reines (3/5)
## Le calcul du nombre de solutions
```C
void stack_init(stack *s) {
s->top = -1;
}
bool stack_is_empty(stack s) {
return s.top == -1;
}
void stack_push(stack *s, int val) {
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
int stack_pop(stack *s) {
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
// Placer une reine et mettre à jour
rien placer_devant(board, ligne, colonne)
board est occupé à ligne/colonne
toutes les cases des colonnes
suivantes sont mises à jour
```
# La pile dynamique
# Le code du problème des 8 reines (4/5)
## Comment modifier le code précédent pour avoir une taille dynamique?
## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
. . .
## Le nombre de solutions
\footnotesize
```C
// alloue une zone mémoire de size octets
void *malloc(size_t size);
// change la taille allouée à size octets (contiguïté garantie)
void *realloc(void *ptr, size_t size);
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
for (int li = 0; li < n; li++) {
if (board[li][co]) {
if (co < n-1) {
bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
copy(n, board, new_board);
prises_devant(n, new_board, li, co);
nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
} else {
*ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
}
}
}
}
```
. . .
**Attention:** `malloc` sert à allouer un espace mémoire (**pas** de notion de tableau).
# Le code du problème des 8 reines (5/5)
## Et maintenant?
\footnotesize
. . .
## Placer devant
```C
void stack_create(stack *s); // crée une pile avec une taille par défaut
// vérifie si la pile est pleine et réalloue si besoin
void stack_push(stack *s, int val);
// vérifie si la pile est vide/trop grande
// et réalloue si besoin
void stack_pop(stack *s, int *ret);
// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
void placer_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
board[li][co] = false; // position de la reine
for (int j = 1; j < n-co; j++) {
// horizontale et diagonales à droite de la reine
if (j <= li) {
board[li-j][co+j] = false;
}
board[li][co+j] = false;
if (li+j < n) {
board[li+j][co+j] = false;
}
}
}
```
. . .
# Les piles
\Huge Les piles
# Les piles (1/5)
## Faisons l'implémentation ensemble
## Qu'est-ce donc?
# Le tri à deux piles (1/3)
* Structure de données abstraite...
## Cas pratique
. . .
![Un exemple de tri à deux piles](figs/tri_piles.svg){width=70%}
* de type `LIFO` (*Last in first out*).
# Le tri à deux piles (2/3)
![Une pile où on ajoute A, puis B avant de les retirer. Source:
[Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Stack_(data_structure)_LIFO.svg)](figs/Stack.svg){width=70%}
## Exercice: formaliser l'algorithme
## Des exemples de la vraie vie
. . .
## Algorithme de tri nécessitant 2 piles (G, D)
* Pile d'assiettes, de livres, ...
* Adresses visitées par un navigateur web.
* Les calculatrices du passé (en polonaise inverse).
* Les boutons *undo* de vos éditeurs de texte (aka *u* dans vim).
Soit `tab` le tableau à trier:
# Les piles (2/5)
```C
pour i de 0 à N-1
tant que (tab[i] > que le sommet de G)
dépiler G dans D
tant que (tab[i] < que le sommet de D)
dépiler de D dans G
empiler tab[i] sur G
dépiler tout D dans G
tab est trié dans G
```
## Fonctionnalités
# Le tri à deux piles (3/3)
. . .
## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
```C
. . .
4. Jeter un œil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
5. Nombre d'éléments (length).
## Comment faire les 4, 5 à partir de 1 à 3?
. . .
4. Dépiler l'élément, le copier, puis l'empiler à nouveau.
5. Dépiler jusqu'à ce que la pile soit vide, puis empiler à nouveau.
. . .
## Existe en deux goûts
* Pile avec ou sans limite de capacité (à concurrence de la taille de la
mémoire).
# Les piles (3/5)
## Implémentation
* Jusqu'ici on n'a pas du tout parlé d'implémentation (d'où le nom de structure
abstraite).
* Pas de choix unique d'implémentation.
## Quelle structure de données allons nous utiliser?
. . .
Et oui vous avez deviné: un tableau!
## La structure: de quoi avons-nous besoin (pile de taille fixe)?
. . .
```C
#define MAX_CAPACITY 500
typedef struct _stack {
int data[MAX_CAPACITY]; // les données
int top; // indice du sommet
} stack;
```
# La calculatrice (1/8)
# Les piles (4/5)
## Vocabulaire
## Initialisation
. . .
```C
2 + 3 = 2 3 +,
void stack_init(stack *s) {
s->top = -1;
}
```
`2` et `3` sont les *opérandes*, `+` l'*opérateur*.
## Est vide?
. . .
## La notation infixe
```C
2 * (3 + 2) - 4 = 6.
bool stack_is_empty(stack s) {
return s.top == -1;
}
```
## La notation postfixe
## Empiler (ajouter un élément au sommet)
. . .
```C
2 3 2 + * 4 - = 6.
void stack_push(stack *s, int val) {
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
```
## Exercice: écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
# Les piles (5/5)
## Dépiler (enlever l'élément du sommet)
. . .
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
int stack_pop(stack *s) {
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
```
# La calculatrice (2/8)
## Jeter un oeil (regarder le sommet)
## De infixe à post-fixe
* Une *pile* est utilisée pour stocker *opérateurs* et *parenthèses*.
* Les opérateurs on des *priorités* différentes.
. . .
```C
^ : priorité 3
* / : priorité 2
+ - : priorité 1
( ) : priorité 0 // pas un opérateur mais bon
int stack_peek(stack s) {
return s.data[s.top];
}
```
## Quelle est la complexité de ces opérations?
. . .
## Voyez-vous des problèmes potentiels avec cette implémentation?
# La calculatrice (3/8)
. . .
## De infixe à post-fixe: algorithme
* Empiler avec une pile pleine.
* Dépiler avec une pile vide.
* Jeter un oeil au sommet d'une pile vide.
* On lit l'expression infixe de gauche à droite.
# Gestion d'erreur, level 0
* On examine le prochain caractère de l'expression infixe.
* Si opérande, le placer dans l'expression du résultat.
* Si parenthèse le mettre dans la pile (priorité 0).
* Si opérateur, comparer sa priorité avec celui du sommet de la pile:
* Si sa priorité est plus élevée, empiler.
* Sinon dépiler l'opérateur de la pile dans l'expression du résultat et
recommencer jusqu'à apparition d'un opérateur de priorité plus faible
au sommet de la pile (ou pile vide).
* Si parenthèse fermée, dépiler les opérateurs du sommet de la pile et les
placer dans l'expression du résultat, jusqu'à ce qu'une parenthèse
ouverte apparaisse au sommet, dépiler également la parenthèse.
* Si il n'y a pas de caractère dans l'expression dépiler tous les
opérateurs dans le résultat.
* Il y a plusieurs façon de traiter les erreur:
* Ne rien faire (laisser la responsabilité à l'utilisateur).
* Faire paniquer le programme (il plante plus ou moins violemment).
* Utiliser des codes d'erreurs.
# La calculatrice (4/8)
## La panique
## De infixe à post-fixe: exemple
* En C, on a les `assert()` pour faire paniquer un programme.
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
(A*B)/D-F)/(G+H) Vide ( 0
A*B)/D-F)/(G+H) Vide (( 0
*B)/D-F)/(G+H) A (( 0
B)/D-F)/(G+H) A ((* 2
)/D-F)/(G+H) AB ((* 2
/D-F)/(G+H) AB* ( 0
D-F)/(G+H) AB* (/ 2
-F)/(G+H) AB*D (/ 2
F)/(G+H) AB*D/ (- 1
)/(G+H) AB*D/F (- 1
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
```
# Les assertions
# La calculatrice (5/8)
\Huge Les assertions
## De infixe à post-fixe: exemple
# Assertions (1/3)
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
--------------------------------------------------------
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
(G+H) AB*D/F- / 2
G+H) AB*D/F- /( 0
+H) AB*D/F-G /( 0
H) AB*D/F-G /(+ 1
) AB*D/F-GH /(+ 1
Vide AB*D/F-GH+ / 2
Vide AB*D/F-GH+/ Vide Néant
#include <assert.h>
void assert(int expression);
```
# La calculatrice (6/8)
## Qu'est-ce donc?
\footnotesize
- Macro permettant de tester une condition lors de l'exécution d'un programme:
- Si `expression == 0`{.C} (condition fausse), `assert()`{.C} affiche un message d'erreur sur `stderr`{.C} et termine l'exécution du programme.
- Sinon l'exécution se poursuit normalement.
- Peuvent être désactivés à la compilation avec `-DNDEBUG` (équivalent à `#define NDEBUG`)
## Exercice: écrire le code et le poster sur matrix
## À quoi ça sert?
* Quelle est la signature de la fonction?
- Permet de réaliser des tests unitaires.
- Permet de tester des conditions catastrophiques d'un programme.
- **Ne permet pas** de gérer les erreurs.
. . .
# Assertions (2/3)
* Une sorte de corrigé:
<!-- \footnotesize -->
## Exemple
```C
char *infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
for (size_t i = 0; i < strlen(infix); ++i) {
if (is_operand(infix[i])) {
// we just add operands in the new postfix string
} else if (infix[i] == '(') {
// we push opening parenthesis into the stack
} else if (infix[i] == ')') {
// we pop everything into the postfix
} else if (is_operator(infix[i])) {
// this is an operator. We add it to the postfix based
// on the priority of what is already in the stack and push it
}
}
// pop all the operators from the s at the end of postfix
// and end the postfix with `\0`
return postfix;
}
#include <assert.h>
void stack_push(stack *s, int val) {
assert(s->top < MAX_CAPACITY-1);
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
int stack_pop(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
int stack_peek(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
return s->data[s->top];
}
```
# Assertions (3/3)
# La calculatrice (7/8)
## Cas typiques d'utilisation
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
- Vérification de la validité des pointeurs (typiquement `!= NULL`{.C}).
- Vérification du domaine des indices (dépassement de tableau).
* Chaque *opérateur* porte sur les deux opérandes qui le précèdent.
* Le *résultat d'une opération* est un nouvel *opérande* qui est remis au
sommet de la pile.
## Bug vs. erreur de *runtime*
## Exemple
- Les assertions sont là pour détecter les bugs (erreurs d'implémentation).
- Les assertions ne sont pas là pour gérer les problèmes externes au programme (allocation mémoire qui échoue, mauvais paramètre d'entrée passé par l'utilisateur, ...).
```C
2 3 4 + * 5 - = ?
```
. . .
- Mais peuvent être pratiques quand même pour ça...
- Typiquement désactivées dans le code de production.
* On parcours de gauche à droite:
# La pile dynamique
## Comment modifier le code précédent pour avoir une taille dynamique?
. . .
```C
Caractère lu Pile opérandes
2 2
3 2, 3
4 2, 3, 4
+ 2, (3 + 4)
* 2 * 7
5 14, 5
- 14 - 5 = 9
// alloue une zone mémoire de size octets
void *malloc(size_t size);
// change la taille allouée à size octets (contiguïté garantie)
void *realloc(void *ptr, size_t size);
```
# La calculatrice (8/8)
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
. . .
1. La valeur d'un opérande est *toujours* empilée.
2. L'opérateur s'applique *toujours* au 2 opérandes au sommet.
3. Le résultat est remis au sommet.
**Attention:** `malloc` sert à allouer un espace mémoire (**pas** de notion de tableau).
## Exercice: écrire l'algorithme en C (et poster sur matrix)
## Et maintenant?
. . .
```C
bool evaluate(char *postfix, double *val) { // init stack
for (size_t i = 0; i < strlen(postfix); ++i) {
if (is_operand(postfix[i])) {
stack_push(&s, postfix[i]);
} else if (is_operator(postfix[i])) {
double rhs = stack_pop(&s);
double lhs = stack_pop(&s);
stack_push(&s, op(postfix[i], lhs, rhs));
}
}
return stack_pop(&s);
}
void stack_create(stack *s); // crée une pile avec une taille par défaut
// vérifie si la pile est pleine et réalloue si besoin
void stack_push(stack *s, int val);
// vérifie si la pile est vide/trop grande
// et réalloue si besoin
void stack_pop(stack *s, int *ret);
```
. . .
## Faisons s'implémentation ensemble
slides/cours_11.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Calculatrices, liste chaînée, et files d'attente"
date: "2023-12-12"
title: "Applications des piles, listes chaînées et files d'attente"
date: "2024-12-09"
---
# La calculatrice (Rappel)
# Rappel: les piles
## Écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
## Qu'est-ce donc?
. . .
* Structure de données abstraite de type LIFO
## Quelles fonctionnalités?
. . .
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
# Le tri à deux piles
\Huge Le tri à deux piles
# Le tri à deux piles (1/3)
## Cas pratique
![Un exemple de tri à deux piles](figs/tri_piles.svg){width=70%}
# Le tri à deux piles (2/3)
## Exercice: formaliser l'algorithme
. . .
## Algorithme de tri nécessitant 2 piles (G, D)
Soit `tab` le tableau à trier:
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
pour i de 0 à N-1
tant que (tab[i] > que le sommet de G)
dépiler G dans D
tant que (tab[i] < que le sommet de D)
dépiler de D dans G
empiler tab[i] sur G
dépiler tout D dans G
dépiler tout G dans tab
```
# Le tri à deux piles (3/3)
## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
```C
```
# La Calculatrice
\Huge La Calculatrice
# La calculatrice (1/8)
## Vocabulaire
```C
2 + 3 = 2 3 +,
```
## Quelle structure de données utiliser pour la calculatrice?
`2` et `3` sont les *opérandes*, `+` l'*opérateur*.
. . .
La pile!
## La notation infixe
```C
2 * (3 + 2) - 4 = 6.
```
# La calculatrice (Rappel 2)
## La notation postfixe
```C
2 3 2 + * 4 - = 6.
```
## Exercice: écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
. . .
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
```
# La calculatrice (2/8)
## De infixe à post-fixe
* Une *pile* est utilisée pour stocker *opérateurs* et *parenthèses*.
* Les opérateurs ont des *priorités* différentes.
```C
^ : priorité 3
* / : priorité 2
+ - : priorité 1
( ) : priorité 0 // pas un opérateur mais bon
```
# La calculatrice (3/8)
## De infixe à post-fixe: algorithme
* On lit l'expression infixe de gauche à droite.
* On examine le prochain caractère de l'expression infixe:
* Si opérande, le placer dans l'expression du résultat.
* Si parenthèse le mettre dans la pile (priorité 0).
* Si opérateur, comparer sa priorité avec celui du sommet de la pile:
* Si sa priorité est plus élevée, empiler.
* Sinon dépiler l'opérateur de la pile dans l'expression du résultat et
recommencer jusqu'à apparition d'un opérateur de priorité plus faible
au sommet de la pile (ou pile vide).
* Si parenthèse fermée, dépiler les opérateurs du sommet de la pile et les
placer dans l'expression du résultat, jusqu'à ce qu'une parenthèse
ouverte apparaisse au sommet, dépiler également la parenthèse.
* Si il n'y a pas de caractère dans l'expression dépiler tous les
opérateurs dans le résultat.
# La calculatrice (4/8)
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
(A*B)/D-F)/(G+H) Vide ( 0
A*B)/D-F)/(G+H) Vide (( 0
*B)/D-F)/(G+H) A (( 0
B)/D-F)/(G+H) A ((* 2
)/D-F)/(G+H) AB ((* 2
/D-F)/(G+H) AB* ( 0
D-F)/(G+H) AB* (/ 2
-F)/(G+H) AB*D (/ 2
F)/(G+H) AB*D/ (- 1
)/(G+H) AB*D/F (- 1
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
```
# La calculatrice (5/8)
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
--------------------------------------------------------
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
(G+H) AB*D/F- / 2
G+H) AB*D/F- /( 0
+H) AB*D/F-G /( 0
H) AB*D/F-G /(+ 1
) AB*D/F-GH /(+ 1
Vide AB*D/F-GH+ / 2
Vide AB*D/F-GH+/ Vide Néant
```
# La calculatrice (6/8)
\footnotesize
## Quel est l'algorithme pour `infix_to_postfix`?
## Exercice: écrire le code et le poster sur matrix
* Quelle est la signature de la fonction?
. . .
* Une sorte de corrigé:
```C
char *infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
char* infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
for (size_t i = 0; i < strlen(infix); ++i) {
if (is_operand(infix[i])) {
// we just add operands in the new postfix string
......@@ -48,7 +215,7 @@ char *infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
```
# La calculatrice (nouveautés)
# La calculatrice (7/8)
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
......@@ -75,7 +242,7 @@ Caractère lu Pile opérandes
- 14 - 5 = 9
```
# La calculatrice (nouveautés 2)
# La calculatrice (8/8)
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
......@@ -88,7 +255,8 @@ Caractère lu Pile opérandes
. . .
```C
double evaluate(char *postfix) { // init stack
double evaluate(char* postfix) {
// declare and initialize stack s
for (size_t i = 0; i < strlen(postfix); ++i) {
if (is_operand(postfix[i])) {
stack_push(&s, postfix[i]);
......@@ -102,7 +270,9 @@ double evaluate(char *postfix) { // init stack
}
```
# Liste chaînée et pile
\Huge Liste chaînée et pile
# La liste chaînée et pile (1/6)
......@@ -124,7 +294,9 @@ typedef struct _element {
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* stack;
typedef struct _stack {
element *top;
} stack;
```
## Fonctionnalités?
......@@ -132,12 +304,12 @@ typedef element* stack;
. . .
```C
void stack_create(stack *s); // *s = NULL;
void stack_create(stack *s); // s->top = NULL;
void stack_destroy(stack *s);
void stack_push(stack *s, int val);
void stack_pop(stack *s, int *val);
void stack_peek(stack s, int *val);
bool stack_is_empty(stack s); // reutrn NULL == stack;
bool stack_is_empty(stack s); // return NULL == s.top;
```
# La liste chaînée et pile (3/6)
......@@ -164,8 +336,8 @@ bool stack_is_empty(stack s); // reutrn NULL == stack;
void stack_push(stack *s, int val) {
element *elem = malloc(sizeof(*elem));
elem->data = val;
elem->next = *s;
*s = elem;
elem->next = s->top;
s->top = elem;
}
```
......@@ -191,7 +363,7 @@ void stack_push(stack *s, int val) {
```C
void stack_peek(stack s, int *val) {
*val = s->data;
*val = s.top->val;
}
```
......@@ -218,8 +390,8 @@ void stack_peek(stack s, int *val) {
```C
void stack_pop(stack *s, int *val) {
stack_peek(*s, val);
element *tmp = *s;
*s = (*s)->next;
element *tmp = s->top;
s->top = s->top->next;
free(tmp);
}
```
......@@ -253,513 +425,3 @@ void stack_destroy(stack *s) {
}
```
# La file d'attente (1/N)
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler: extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une liste vide.
* Détruire une liste vide.
# La file d'attente (2/N)
\footnotesize
## Implémentation possible
* La structure file, contient un pointeur vers la tête et un vers le début de la file.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée.
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png){width=80%}
## Structure de données en C?
. . .
```C
typedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente:
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
```
# Fonctionnalités d'une file d'attente
## Creation et consultations
. . .
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.tail->data
int queue_head(queue fa); // return fa.head->data
```
## Manipulations et destruction
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val);
// adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa);
// removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa);
// dequeues everything into oblivion
```
# Enfilage
## Deux cas différents:
1. La file est vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
# Enfilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element* elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
}
```
# Défilage
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
3. La file est vide (problème)
# Défilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
element* elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
# Destruction
## Comment on faire la désallocation?
. . .
On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
# Complexité
## Quelle sont les complexité de:
* Enfiler?
. . .
* Défiler?
. . .
* Détruire?
. . .
* Est vide?
# Implémentation alternative
## Comment implémenter la file autrement?
. . .
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` seraient les indices du tableau;
* `capacity` seraient la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
. . .
## Structure de données
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int tail, capacity;
} queue;
```
# File basée sur un tableau
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Complexité
## Quelle sont les complexités de:
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Une file plus efficace
## Comment faire une file plus efficace?
* Où est-ce que ça coince?
. . .
* Défiler est particulièrement lent $\mathcal{O}(N)$.
## Solution?
. . .
* Utiliser un indice séparé pour `head`.
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int head, tail, capacity;
} queue;
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Enfilage
\footnotesize
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
fa->head = fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else if (fa->tail == fa->capacity-1 && fa->head != 0) {
// the tail reached the end of the array
fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Défilage
```C
void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
if (queue_is_empty(*fa)) {
return; // queue is empty
}
*val = fa->data[fa->head];
if (fa->head == fa->tail) { // that was the last element
fa->head = fa->tail = -1;
} else if (fa->head == fa->capacity-1) {
fa->head = 0;
} else {
fa->head += 1;
}
}
```
# Les listes triées
Une liste chaînée triée est:
* une liste chaînée
* dont les éléments sont insérés dans l'ordre.
![Exemple de liste triée.](./figs/sorted_list_example.svg)
. . .
* L'insertion est faite telle que l'ordre est maintenu.
## Quelle structure de données?
```C
```
# Les listes triées
## Quel but?
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
## Comment?
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
# Les listes triées
\footnotesize
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
```C
typedef struct _element { // chaque élément
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* sorted_list; // la liste
```
## Fonctionnalités
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# L'insertion
## Trois cas
1. La liste est vide.
. . .
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
}
```
# L'insertion
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
}
```
# L'insertion
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data <
val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
slides/cours_12.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Files d'attente, listes triées, et listes doublement chaînées"
date: "2023-12-19"
title: "File d'attente, liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2024-12-16"
---
# La file d'attente (1/N)
# La file d'attente
\Huge La file d'attente
# La file d'attente (1/2)
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
......@@ -24,16 +28,16 @@ date: "2023-12-19"
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une liste vide.
* Détruire une liste.
* Créer une file vide.
* Détruire une file.
# La file d'attente (2/N)
# La file d'attente (2/2)
\footnotesize
## Implémentation possible
* La structure file, contient un pointeur vers la tête et un vers le début de la file.
* La structure de file, contient un pointeur vers la tête et un autre vers le début de la file.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée.
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png){width=80%}
......@@ -47,7 +51,7 @@ typedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente:
typedef struct _queue { // File d'attente
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
......@@ -55,7 +59,7 @@ typedef struct _queue { // File d'attente:
# Fonctionnalités d'une file d'attente
## Creation et consultations
## Création et consultations
. . .
......@@ -81,7 +85,7 @@ void queue_destroy(queue *fa);
# Enfilage
## Deux cas différents:
## Deux cas différents
1. La file est vide (faire un dessin):
......@@ -108,16 +112,17 @@ void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
fa->tail = elmt;
}
```
# Défilage
## Deux cas différents
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
......@@ -131,7 +136,6 @@ void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
3. La file est vide (problème)
# Défilage
......@@ -167,7 +171,7 @@ On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
# Complexité
## Quelle sont les complexité de:
## Quelle est la complexité de
* Enfiler?
......@@ -191,8 +195,8 @@ On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` seraient les indices du tableau;
* `capacity` seraient la capacité maximale;
* `tail` serait un indice du tableau;
* `capacity` serait la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
. . .
......@@ -230,7 +234,6 @@ typedef struct _queue {
```
* Enfiler?
. . .
......@@ -255,7 +258,7 @@ typedef struct _queue {
# Complexité
## Quelle sont les complexités de:
## Quelle est les complexités de
* Initialisation?
......@@ -276,7 +279,6 @@ typedef struct _queue {
```
* Enfiler?
. . .
......@@ -331,7 +333,7 @@ typedef struct _queue {
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == fa->head-1)) {
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
......@@ -344,7 +346,7 @@ void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
```
......@@ -369,6 +371,9 @@ void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
}
```
# Listes triées
\Huge Les listes triées
# Les listes triées
......@@ -412,7 +417,6 @@ Une liste chaînée triée est:
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
```C
......@@ -429,14 +433,14 @@ typedef element* sorted_list; // la liste
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# L'insertion
# L'insertion (1/3)
## Trois cas
......@@ -459,13 +463,14 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (2/3)
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
![Insertion en tête de liste, `list->data >= val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
. . .
......@@ -481,7 +486,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (3/3)
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
......@@ -507,8 +512,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (1/3)
## Trois cas
......@@ -526,9 +530,9 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
......@@ -537,8 +541,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (2/3)
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
......@@ -554,10 +557,11 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) { // glue things together
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
free(crt);
}
......@@ -565,7 +569,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (3/3)
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
......@@ -584,9 +588,9 @@ On retourne la liste inchangée.
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
......@@ -595,8 +599,6 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
# La recherche
```C
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
......@@ -612,7 +614,9 @@ element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next && val == pos->next->data) {
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next
&& val == pos->next->data)
{
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
......@@ -680,14 +684,13 @@ $$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
......@@ -707,6 +710,10 @@ Pas possible.
# Liste doublement chaînée
\Huge Liste doublement chaînée
# Liste doublement chaînée
## Exercices
* Partir du dessin suivant et par **groupe de 5**
......@@ -721,7 +728,7 @@ Pas possible.
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
```C
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
......@@ -740,9 +747,9 @@ void dll_print(dll list);
# Liste doublement chaînée
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
```C
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
......@@ -773,4 +780,3 @@ int dll_pop(dll *list);
// vide la liste
void dll_destroy(dll *list);
```
slides/cours_13.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Listes triées, listes doublement chaînées, et tables de hachage"
date: "2024-01-09"
title: "Liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2025-01-06"
---
# Rappel
# Les listes triées
\Huge Listes triées
## Quel but?
# Rappel: liste triées (1/3)
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
## Qu'est-ce qu'une liste triée?
## Comment?
. . .
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
* une liste,
* dont les éléments sont insérés dans l'ordre.
# Les listes triées
## Structure de donnée?
\footnotesize
. . .
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
```C
typedef struct _element { // chaque élément
......@@ -28,40 +32,92 @@ typedef struct _element { // chaque élément
typedef element* sorted_list; // la liste
```
# Rappel: liste triées (2/3)
## Fonctionnalités?
. . .
## Fonctionnalités
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# Rappel: liste triées (3/3)
# L'insertion (1/3)
## L'insertion: 3 cas
## Trois cas
1. La liste est vide.
. . .
2. L'insertion se fait "avant" le premier élément.
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
}
```
# L'insertion (2/3)
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
3. L'insertion se fait après la tête de la liste.
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
. . .
# L'extraction
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
}
```
# L'insertion (3/3)
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data < val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
# L'extraction (1/3)
## Trois cas
......@@ -79,9 +135,9 @@ element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
......@@ -90,8 +146,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (2/3)
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
......@@ -107,9 +162,9 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
......@@ -119,7 +174,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (3/3)
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
......@@ -138,9 +193,9 @@ On retourne la liste inchangée.
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
......@@ -149,8 +204,6 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
# La recherche
```C
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
......@@ -236,14 +289,13 @@ $$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
......@@ -281,7 +333,7 @@ Pas possible.
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
```C
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
......@@ -300,9 +352,9 @@ void dll_print(dll list);
# Liste doublement chaînée
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
```C
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
......@@ -334,607 +386,3 @@ int dll_pop(dll *list);
void dll_destroy(dll *list);
```
# Les tables de hachage
\Huge Les tables de hachage
# Tableau vs Table
## Tableau
* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
```C
annuaire tab[2] = {
"+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
};
tab[1] == "+41 22 123 45 67";
```
## Table
* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
```C
annuaire tab = {
// Clé , Valeur
"Paul", "+41 22 123 45 67",
"Orestis", "+41 22 234 56 78",
};
tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
```
# Table
## Définition
Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
argument).
On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
## Donnez des exemples de telles paires
. . .
* Annuaire (nom-téléphone),
* Catalogue (objet-prix),
* Table de valeur fonctions (nombre-nombre),
* Index (nombre-page)
* ...
# Table
## Opérations principales sur les tables
* Insertion d'élément (`insert(clé, valeur)`{.C}), insère la paire `clé-valeur`
* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
## Structure de données / implémentation
Efficacité dépend de différents paramètres:
* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
* données triées/non-triées,
* ...
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Séquentielle
* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
```C
typedef struct {
key_t key;
value_t value;
} key_value_t;
```
* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
retourne la valeur.
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
value_t *value)
{
int pos = n - 1;
while (pos >= 0) {
if (key == table[pos].key) {
*value = table[pos].value;
return true;
}
pos--;
}
return false;
}
```
. . .
## Inconvénient?
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
Poster le résultat sur matrix.
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Dichotomique
* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
retourne la valeur,
* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
bool binary_get1(int n, value_key_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (top > bottom) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle+1;
} else {
top = middle;
}
}
if (key == table[top].key) {
*value = table[top].value;
return true;
} else {
return false;
}
}
```
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Autre implémentation
```C
bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (true) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle + 1;
} else if (key < table[middle].key) {
top = middle;
} else {
*value = table[middle].value;
return true;
}
if (top < bottom) {
break;
}
}
return false;
}
```
## Quelle est la différence avec le code précédent?
# Transformation de clé (hashing)
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
```
Numéro AVS | Nom
0000000000000 | -------
... | ...
1063123849213 | Paul
... | ...
3066713878328 | Orestis
... | ...
9999999999999 | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
. . .
* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
ordinateur.
# Transformation de clé (hashing)
## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
* Format: 8 caractères (simplification)
```
Identificateur | Adresse
aaaaaaaa | -------
... | ...
resultat | 3aeff
compteur | 4fedc
... | ...
zzzzzzzz | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
. . .
* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
* La table est représentée avec un tableau.
* La taille du tableau est beaucoup plus petit que le nombre de clés.
* On produit un indice du tableau à partir d'une clé:
$$
h(key) = n,\quad n\in\mathbb{N}.
$$
En français: on transforme `key` en nombre entier qui sera l'indice dans le
tableau correspondant à `key`.
## La fonction de hash
* La taille du domaine des clés est beaucoup plus grand que le domaine des
indices.
* Plusieurs indices peuvent correspondre à la **même clé**:
* Il faut traiter les **collisions**.
* L'ensemble des indices doit être plus petit ou égal à la taille de la table.
## Une bonne fonction de hash
* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par troncature
\begin{align*}
&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
\end{align*}
```
Key | Index
0003 | 0
1123 | 2 \
1234 | 3 |-> collision.
1224 | 2 /
1264 | 6
```
## Quelle est la taille de la table?
. . .
C'est bien dix oui.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par découpage
Taille de l'index: 3 chiffres.
```
key = 321 991 24 -> 321
991
+ 24
----
1336 -> index = 336
```
## Devinez l'algorithme?
. . .
On part de la gauche:
1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
2. On somme les nombres obtenus.
3. On tronque à la longueur de l'index.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode multiplicative
Taille de l'index: 2 chiffres.
```
key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
```
On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par division modulo
Taille de l'index: `N` chiffres.
```
h(key) = key % N.
```
## Quelle doit être la taille de la table?
. . .
Oui comme vous le pensiez au moins `N`.
# Traitement des collisions
## La collision
```
key1 != key2, h(key1) == h(key2)
```
## Traitement (une idée?)
. . .
* La première clé occupe la place prévue dans le tableau.
* La deuxième (troisième, etc.) est placée ailleurs de façon **déterministe**.
Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
# La méthode séquentielle
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
trouver une libre.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + 1) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Problème?
. . .
* Regroupement d'éléments (clustering).
# Méthode linéaire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle valeur de `k` éviter?
. . .
* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
# Méthode du double hashing
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle propriété doit avoir `h2`?
## Exemple
```C
h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
```
# Méthode pseudo-aléatoire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + random_number) % table_size;
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
. . .
* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
```C
srand(h(key));
while {
random_number = rand();
}
```
# Méthode quadratique
* La fonction des indices de collision est de degré 2.
* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
```
## Problème possible?
. . .
* Calculer le carré peut-être "lent".
* En fait on peut ruser un peu.
# Méthode quadratique
\footnotesize
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100
\
d_0 = 1
/ \
J_1 = 101 Delta = 2
\ /
d_1 = 3
/ \
J_2 = 104 Delta = 2
\ /
d_2 = 5
/ \
J_3 = 109 Delta = 2
\ /
d_3 = 7
/
J_4 = 116
--------------------------------------
J_{i+1} = J_i + d_i,
d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
```
# Méthode de chaînage
## Comment ça marche?
* Chaque index de la table contient un pointeur vers une liste chaînée
contenant les paires clés-valeurs.
## Un petit dessin
```
```
# Méthode de chaînage
## Exemple
On hash avec la fonction `h(key) = key % 11` (`key` est le numéro de la lettre
de l'alphabet)
```
U | N | E | X | E | M | P | L | E | D | E | T | A | B | L | E
10 | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 1 | 5 | 4 | 5 | 9 | 1 | 2 | 1 | 5
```
## Comment on représente ça? (à vous)
. . .
![La méthode de chaînage](figs/fig_hash.png){width=80%}
# Méthode de chaînage
Avantages:
* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
sont `NULL`).
* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
* Pas de problème de regroupement (clustering).
# Exercice 1
* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
```
R, E, C, O, U, P, A, N, T
```
* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
# Exercice 2
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
slides/cours_14.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Tables de hachage"
date: "2024-02-20"
date: "2025-02-21"
---
# Les tables de hachage
......@@ -187,6 +187,8 @@ bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
# Transformation de clé (hashing)
\footnotesize
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
......@@ -572,3 +574,37 @@ Avantages:
* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
# Exercice 2
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
slides/cours_15.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Fin des tables de hachages et arbres"
date: "2024-02-27"
date: "2025-02-28"
---
# Rappel
......@@ -14,7 +14,7 @@ date: "2024-02-27"
. . .
* Insetion, consultation, suppression.
* Insertion, consultation, suppression.
```C
void insert(table, key, value)
......@@ -37,13 +37,12 @@ date: "2024-02-27"
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
* En cas de collision, on fait un saut de $h_2(k)$, c.-à-d. $$index = (index + h_2(k)) \mod 13.$$
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
......@@ -52,8 +51,9 @@ h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10
$$
où $i$ compte les collisions.
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
......@@ -67,7 +67,7 @@ $$
\small
* On considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* Ici, on ne considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* L'insertion est construite avec une forme du type
```C
......@@ -97,7 +97,8 @@ $$
rien insertion(table, clé, valeur) {
index = hash(clé)
index =
tant que état(table[index]) == occupé et clé(table[index]) != clé:
tant que état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) != clé:
index = rehash(clé)
état(table[index]) = occupé
......@@ -115,7 +116,8 @@ rien insertion(table, clé, valeur) {
valeur suppression(table, clé):
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé et clé(table[index]) == clé:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
état(table[index]) = supprimé
sinon
index = rehash(clé)
......@@ -132,7 +134,8 @@ valeur suppression(table, clé):
booléen recherche(table, clé) {
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé et clé(table[index]) == clé:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
retourner vrai
sinon
index = rehash
......@@ -212,7 +215,7 @@ void hm_print(hm h);
# Les arbres
{\Huge Les arbres}
\Huge Les arbres
# Les arbres: définition
......@@ -224,15 +227,15 @@ void hm_print(hm h);
## Plus sérieusement
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe),
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe).
* Les arêtes relient les nœuds entre eux, mais pas n'importe comment: chaque
nœud a au plus un **parent**,
* Le seul nœud sans parent est la **racine**,
* Chaque nœud a un nombre fini d'**enfants**,
nœud a au plus un **parent**.
* Le seul nœud sans parent est la **racine**.
* Chaque nœud a un nombre fini d'**enfants**.
* La hiérarchie des nœuds rend les arêtes **orientées** (parent -> enfants), et empêche les
**cycles** (acyclique, orienté).
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants,
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les enfants,
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants.
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les enfants.
* Le **degré** d'un nœud est le nombre de enfants du nœud.
. . .
......@@ -360,11 +363,11 @@ graph TD;
:::
* Les nœuds de degré 0, sont des feuilles.
* Les nœuds de degré 0 sont des feuilles.
# Application: recherche rapide
## Pouvez vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
## Pouvez-vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
. . .
......@@ -396,7 +399,7 @@ graph LR;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Botanique
* **Exercice:** Ajouter les degrés/niveaux et feuilles
......@@ -415,7 +418,7 @@ graph TD;
H-->K;
```
# Autres représentation
# Autres représentations
* Ensembliste
......@@ -445,7 +448,7 @@ graph TD;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Liste
......@@ -536,605 +539,3 @@ A
:::
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque nœud a au plus deux enfants: gauche et droite,
* Chaque enfants est un arbre.
## Comment représenteriez vous une telle structure?
. . .
```C
<R, G, D>
R: racine
G: sous-arbre gauche
D: sous-arbre droite
```
## Comment cela s'écrirait en C?
. . .
```C
typedef struct _node {
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
typedef node *tree;
```
# L'arbre binaire
## Que se passerait-il avec
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node left, right;
} node;
```
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
## Interface minimale
* Qu'y mettriez vous?
. . .
```C
NULL -> arbre (vide)
<n, arbre, arbre> -> arbre
visiter(arbre) -> nœud (la racine de l'arbre)
gauche(arbre) -> arbre (sous-arbre de gauche)
droite(arbre) -> arbre (sous-arbre de droite)
```
* Les autres opérations (insertion, parcours, etc) dépendent de ce qu'on stocke
dans l'arbre.
# Exemple d'arbre binaire
* Représentez `(c - a * b) * (d + e / f)` à l'aide d'un arbre binaire (matrix)
. . .
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
## Remarques
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info est pas le même sur chaque nœud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les nœuds internes contiennent les opérateurs.
::::
:::
# Parcours d'arbres binaires
* Appliquer une opération à tous les nœuds de l'arbre,
* Nécessité de **parcourir** l'arbre,
* Utiliser uniquement l'interface: visiter, gauche,
droite.
## Une idée de comment parcourir cet arbre?
* 3 parcours (R: Racine, G: sous-arbre gauche, D: sous-arbre droit):
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
1. Parcours **préfixe** (R, G, D),
2. Parcours **infixe** (G, R, D),
3. Parcours **postfixe** (G, D, R).
::::
:::
# Le parcours infixe (G, R, D)
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il est pas vide,
2. On visite la racine du sous arbre,
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il est pas vide),
4. On recommence.
. . .
## Incompréhensible?
* La récursivité c'est la vie.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Graphiquement (dessinons)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
::::
:::
# Graphiquement (`mermaid` c'est super)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
A[*]-.->|1|B[-];
B-->C[c];
B-.->|2|C[c];
C-.->|3|B;
B-->D[*];
B-.->|4|D;
D-->E[a];
D-.->|5|E;
E-.->|6|D;
D-->F[b];
D-.->|7|F;
F-.->|8|A;
A-->G[+];
A-.->|9|G;
G-->H[d];
G-.->|10|H;
H-.->|11|G;
G-->I["/"];
G-.->|12|I;
I-->J[e];
I-.->|13|J;
J-.->|14|I;
I-->K[f];
I-.->|15|K;
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
## Remarque
Le nœud est visité à la **remontée**.
## Résultat
```
c - a * b * d + e / f
```
::::
:::
# Et en C?
## Live code
\footnotesize
. . .
```C
typedef int data;
typedef struct _node {
data info;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
void tree_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
tree_print(tree->right, n+1);
}
}
```
# Question
## Avez-vous compris le fonctionnement?
. . .
## Vous en êtes sûr·e·s?
. . .
## OK, alors deux exercices:
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix),
## Rappel
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Correction
\footnotesize
* Les deux parcours sont des modifications **triviales**[^2] de l'algorithme
infixe.
## Le parcours postfixe
```python
parcours_postfixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_postfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_postfixe(droite(a))
visiter(a)
```
## Le parcours préfixe
```python
parcours_préfixe(arbre a)
visiter(a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_préfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_préfixe(droite(a))
```
. . .
**Attention:** L'implémentation de ces fonctions en C sont **à faire** en
exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
# Exercice: parcours
## Comment imprimer l'arbre ci-dessous?
```
f
/
e
+
d
*
c
-
b
*
a
```
. . .
## Bravo vous avez trouvé!
* Il s'agissait du parcours D, R, G.
# Implémentation
## Vous avez 5 min pour implémenter cette fonction et la poster sur matrix!
. . .
```C
void pretty_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
pretty_print(tree->left, n+1);
}
}
```
# Exercice supplémentaire (sans corrigé)
Écrire le code de la fonction
```C
int depth(tree_t t);
```
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
Indice: la profondeur à chaque niveau peut-être calculée à partir du niveau des
sous-arbres de gauche et de droite.
# La recherche dans un arbre binaire
* Les arbres binaires peuvent retrouver une information très rapidement.
* À quelle complexité? À quelle condition?
. . .
## Condition
* Le contenu de l'arbre est **ordonné** (il y a une relation d'ordre (`<`, `>`
entre les éléments).
## Complexité
* La profondeur de l'arbre (ou le $\mathcal{O}(\log_2(N))$)
. . .
## Exemple: les arbres lexicographiques
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**,
* Par construction, pour chaque nœud $N$:
* Toutes clé du sous-arbre à gauche de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
* Toutes clé du sous-arbre à droite de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
# Algorithme de recherche
* Retourner le nœud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```python
arbre recherche(clé, arbre)
tante_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
arbre = droite(arbre)
sinon
retourne arbre
retourne NULL
```
# Algorithme de recherche, implémentation (live)
\footnotesize
. . .
```C
typedef int key_t;
typedef struct _node {
key_t key;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
tree_t search(key_t key, tree_t tree) {
tree_t current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > X) {
current = current->gauche;
} else if (current->key < X){
current = current->droite;
} else {
return current;
}
}
return NULL;
}
```
# Exercice (5-10min)
Écrire le code de la fonction
```C
int tree_size(tree_t tree);
```
qui retourne le nombre total de nœuds d'un arbre et poster le résultat sur
matrix.
Indication: la taille, est 1 + le nombre de nœuds du sous-arbre de gauche
additionné au nombre de nœuds dans le sous-arbre de droite.
. . .
```C
int arbre_size(tree_t tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
return 1 + tree_size(tree->left)
+ tree_size(tree->right);
}
}
```
# L'insertion dans un arbre binaire
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on peut
pas construire l'arbre....
## Pour un arbre lexicographique
* Rechercher la position dans l'arbre où insérer.
* Créer un nœud avec la clé et le rattacher à l'arbre.
# Exemple d'insertions
* Clés uniques pour simplifier.
* Insertion de 5, 15, 10, 25, 2, -5, 12, 14, 11.
* Rappel:
* Plus petit que la clé courante => gauche,
* Plus grand que la clé courante => droite.
* Faisons le dessins ensemble
```
```
## Exercice (3min, puis matrix)
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
# Pseudo-code d'insertion (1/2)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
## Recherche du parent
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudo-code d'insertion (2/2)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout de l'enfant
```
ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
}
}
return current;
}
```
[^2]: Copyright cours de mathématiques pendant trop d'années.
slides/cours_16.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres"
date: "2024-03-05"
title: "Arbres binaires"
date: "2025-03-07"
---
# Les arbres
# Les arbres binaires
{\Huge Les arbres}
# Les arbres: définition
"Un arbre est un graphe acyclique orienté possédant une unique racine, et tel que tous les nœuds sauf la racine ont un unique parent."
. . .
**Santé!**
## Plus sérieusement
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe),
* Les arêtes relient les nœuds entre eux, mais pas n'importe comment: chaque
nœud a au plus un **parent**,
* Le seul nœud sans parent est la **racine**,
* Chaque nœud a un nombre fini d'**enfants**,
* La hiérarchie des nœuds rend les arêtes **orientées** (parent -> enfants), et empêche les
**cycles** (acyclique, orienté).
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants,
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les enfants,
* Le **degré** d'un nœud est le nombre de enfants du nœud.
. . .
* Chaque nœud est un arbre en lui même.
* La **récursivité** sera très utile!
# Arbre ou pas arbre?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
1-->2;
1-->3;
3-->2;
3-->4;
3-->5;
```
::::
. . .
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
1-->2;
1-->3;
3-->4;
3-->5;
3-->6;
```
::::
:::
# Arbre ou pas arbre?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
1-->2;
1-->3;
3-->4;
3-->5;
3-->6;
6-->7;
7-->3;
```
::::
. . .
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=300 loc=figs/}
graph TD;
1;
```
::::
:::
# Arbre ou pas arbre?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
1---2;
1---3;
3---4;
3---5;
```
::::
. . .
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=300 loc=figs/}
graph BT;
1-->2;
1-->3;
3-->4;
3-->5;
3-->6;
```
::::
:::
# Degré et niveau
* Illustration du degré (nombre d'enfants) et du niveau (profondeur)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
1[degré 2]-->2[degré 0];
1-->3[degré 3];
3-->4[degré 0];
3-->5[degré 0];
3-->6[degré 0];
```
::::
. . .
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=300 loc=figs/}
graph TD;
1[niveau 1]-->2[niveau 2];
1-->3[niveau 2];
3-->4[niveau 3];
3-->5[niveau 3];
3-->6[niveau 3];
```
::::
:::
* Les nœuds de degré 0, sont des feuilles.
# Application: recherche rapide
## Pouvez vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
. . .
* Le nombre secret ou la recherche dichotomique (nombre entre 0 et 10).
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
5-->|<|2;
5-->|>|7;
7-->|>|8;
7-->|<|6;
8-->|>|9;
9-->|>|10;
2-->|<|1;
2-->|>|3;
3-->|>|4;
1-->|<|0;
```
::::
:::: column
**Question:** Quelle est la complexité pour trouver un nombre?
::::
:::
# Autres représentation
* Botanique
* **Exercice:** Ajouter les degrés/niveaux et feuilles
```{.mermaid width=250 format=pdf loc=figs/}
graph TD;
A-->B;
A-->C;
B-->D;
B-->E;
B-->F;
F-->I;
F-->J;
C-->G;
C-->H;
H-->K;
```
# Autres représentation
* Ensembliste
::: columns
:::: column
```{.mermaid width=300 format=pdf loc=figs/}
graph TD;
A-->B;
A-->C;
B-->D;
B-->E;
B-->F;
F-->I;
F-->J;
C-->G;
C-->H;
H-->K;
```
::::
. . .
:::: column
![](figs/ensemble.svg)
::::
:::
# Autres représentation
* Liste
::: columns
:::: column
```{.mermaid width=400 format=pdf loc=figs/}
graph TD;
A-->B;
A-->C;
B-->D;
B-->E;
B-->F;
F-->I;
F-->J;
C-->G;
C-->H;
H-->K;
```
::::
. . .
:::: column
```
(A
(B
(D)
(E)
(F
(I)
(J)
)
)
(C
(G)
(H
(K)
)
)
)
```
::::
:::
# Autres représentation
* Par niveau
::: columns
:::: column
```{.mermaid width=400 format=pdf loc=figs/}
graph TD;
A-->B;
A-->C;
B-->D;
B-->E;
B-->F;
F-->I;
F-->J;
C-->G;
C-->H;
H-->K;
```
::::
. . .
:::: column
```
1 2 3 4
-------------------------
A
B
D
E
F
I
J
C
G
H
K
```
::::
:::
\Huge Les arbres binaires
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque nœud a au plus deux enfants: gauche et droite,
* Chaque enfants est un arbre.
* Chaque enfant est un arbre.
## Comment représenteriez vous une telle structure?
......@@ -355,11 +33,12 @@ typedef struct _node {
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
typedef node *tree;
```
# L'arbre binaire
\footnotesize
## Que se passerait-il avec
```C
......@@ -369,6 +48,8 @@ typedef struct _node {
} node;
```
. . .
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
## Interface minimale
......@@ -417,7 +98,7 @@ graph TD;
## Remarques
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info est pas le même sur chaque nœud
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info n'est pas le même sur chaque nœud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les nœuds internes contiennent les opérateurs.
......@@ -469,24 +150,24 @@ graph TD;
# Le parcours infixe (G, R, D)
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il est pas vide,
2. On visite la racine du sous arbre,
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il est pas vide),
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il n'est pas vide.
2. On visite la racine du sous arbre.
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il n'est pas vide).
4. On recommence.
. . .
## Incompréhensible?
* La récursivité c'est la vie.
* La récursivité, c'est la vie.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
# Graphiquement (dessinons)
......@@ -513,11 +194,11 @@ graph TD;
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
::::
......@@ -564,11 +245,11 @@ graph TD;
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
## Remarque
......@@ -600,8 +281,7 @@ typedef struct _node {
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
void tree_print(tree_t tree, int n) {
void tree_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
......@@ -626,7 +306,7 @@ void tree_print(tree_t tree, int n) {
## OK, alors deux exercices:
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix),
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix).
## Rappel
......@@ -643,7 +323,7 @@ parcours_infixe(arbre a)
\footnotesize
* Les deux parcours sont des modifications **triviales**[^2] de l'algorithme
* Les deux parcours sont des modifications **triviales** de l'algorithme
infixe.
## Le parcours postfixe
......@@ -704,7 +384,7 @@ exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
. . .
```C
void pretty_print(tree_t tree, int n) {
void pretty_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
......@@ -721,7 +401,7 @@ void pretty_print(tree_t tree, int n) {
Écrire le code de la fonction
```C
int depth(tree_t t);
int depth(node *t);
```
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
......@@ -749,18 +429,18 @@ sous-arbres de gauche et de droite.
## Exemple: les arbres lexicographiques
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**,
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**.
* Par construction, pour chaque nœud $N$:
* Toutes clé du sous-arbre à gauche de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
* Toutes clé du sous-arbre à droite de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
* Toute clé du sous-arbre à gauche de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
* Toute clé du sous-arbre à droite de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
# Algorithme de recherche
* Retourner le nœud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```python
arbre recherche(clé, arbre)
tante_que est_non_vide(arbre)
tree recherche(clé, arbre)
tant_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
......@@ -783,14 +463,13 @@ typedef struct _node {
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
tree_t search(key_t key, tree_t tree) {
tree_t current = tree;
node *search(key_t key, node *tree) {
node *current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > X) {
current = current->gauche;
} else if (current->key < X){
current = current->droite;
if (current->key > key) {
current = current->left;
} else if (current->key < key){
current = current->right;
} else {
return current;
}
......@@ -804,7 +483,7 @@ tree_t search(key_t key, tree_t tree) {
Écrire le code de la fonction
```C
int tree_size(tree_t tree);
int tree_size(node *tree);
```
qui retourne le nombre total de nœuds d'un arbre et poster le résultat sur
......@@ -816,7 +495,7 @@ additionné au nombre de nœuds dans le sous-arbre de droite.
. . .
```C
int arbre_size(tree_t tree) {
int tree_size(node *tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
......@@ -828,7 +507,7 @@ int arbre_size(tree_t tree) {
# L'insertion dans un arbre binaire
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on peut
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on ne peut
pas construire l'arbre....
## Pour un arbre lexicographique
......@@ -861,8 +540,7 @@ int arbre_size(tree_t tree) {
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
# Pseudo-code d'insertion (1/2)
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
......@@ -871,7 +549,7 @@ int arbre_size(tree_t tree) {
## Recherche du parent
```
arbre position(arbre, clé)
tree position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
......@@ -887,7 +565,7 @@ arbre position(arbre, clé)
retourne arbre
```
# Pseudo-code d'insertion (2/2)
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
......@@ -896,7 +574,7 @@ arbre position(arbre, clé)
## Ajout de l'enfant
```
ajout(arbre, clé)
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
......@@ -915,19 +593,301 @@ ajout(arbre, clé)
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
[^2]: Copyright cours de mathématiques pendant trop d'années.
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# L'insertion (4/4)
## Ajout du fils (code)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
::::
:::: column
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
. . .
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
tree parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
. . .
```
tree insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne nœud(clé)
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
booléen recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
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---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2023-09-26"
title: "Introduction aux algorithmes II"
date: "2024-09-23"
---
# Rappel
......
slides/cours_20.md
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slides/cours_23.md 0 → 100644
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slides/cours_24.md 0 → 100644
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