.gitignore

@@ -5,3 +5,5 @@
 *.backup
 *.pdf
 *.html
+*.markdown
+macros

.gitlab-ci.yml

@@ -2,6 +2,7 @@ image: omalaspinas/pandoc:latest
 
 variables:
   GIT_SUBMODULE_STRATEGY: recursive
+  GIT_SSL_NO_VERIFY: 'true'
 
 before_script:
    ##
@@ -36,6 +37,7 @@ build_only:
     - make
     - make deploy
     - rsync -avzz mti ur1bg_malas@ur1bg.ftp.infomaniak.com:web/malaspinas/
+    
 
 build_artifacts:
   script:

00_macros.md

@@ -2,4 +2,4 @@
   \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
   \newcommand{\real}{\mathbb{R}}
   \newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
-  
\ No newline at end of file
+ 

01_rappel.md

@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
 
 ---
 
-#### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
+Illustration (Fonctions, généralités) #
 
 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
     $I$ $$\begin{aligned}
@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
 
 ---
 
-#### Exemple (Fonctions) {-}
+Illustration (Fonctions) #
 
 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
     deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
 
 ---
 
-#### Exemple (Fonction inverse) {-}
+Illustration (Fonction inverse) #
 
 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
     deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
 
 ## Domaine de définition
 
+---
 
-#### Définition (Domaine de définition) {-}
+Définition (Domaine de définition) #
 
 Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
 $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
 
 ---
 
-#### Exemple (Domaine de définition) {-}
+---
+
+Illustration (Domaine de définition) #
 
 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
 
@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide  et soient $a$ et $b$ deux
 
 ### Limite
 
-#### Définition (Limite) {-}
+---
+
+Définition (Limite) #
 
 Pour $f$ définie en $D$,  on dit que $b$ est la
 limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
 
 $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+---
+
+Remarque #
 
 Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
-$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
+$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+
+---
 
 ---
 
-#### Exemple (Limite) {-}
+Illustration (Limite) #
 
 Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
 
 ---
 
-#### Définition (Limite, asymptote) {-}
+Définition (Limite, asymptote) #
 
 Pour $f$ définie en $D$,
 on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
 
 ---
 
-#### Exemple (Limite, asymptote) {-}
+Illustration (Limite, asymptote) #
 
 Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
 
@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$.
 Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
 sont égales.
 
-#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
+---
+
+Illustration (Limite à gauche/droite) #
 
 Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
 
+---
+
 ### Comportement asymptotique
 
 Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
 
 ## Continuité
 
-#### Définition (Continuité) {-}
+---
+
+Définition (Continuité) #
 
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
 $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
 
-#### Propriétés (Fonctions continues) {-}
+---
+
+---
+
+Propriétés (Fonctions continues) #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
 
@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
 
 4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
 
-#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Continuité sur un intervalle) #
 
 Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
 seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
 continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
 droite en $a$ et à gauche en $b$.
 
-#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
+---
+
+---
+
+Théorème (Valeurs intermédiaires) #
 
 Soit $f$ une fonction continue
 sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
 $f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
 Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
 
+---
+
 ## Dérivées
 
-#### Définition (Dérivée en un point) {-}
+---
+
+Définition (Dérivée en un point) #
 
 Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
 dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned}
 &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
 &\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
 
-#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Dérivée sur un intervalle) #
 
 Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
 la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
 point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
 
-#### Propriété {-}
+---
+
+---
+
+Propriété #
 
 Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
 
-#### Propriétés {-}
+---
+
+---
+
+Propriétés #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
 et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
@@ -267,7 +312,7 @@ et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
 
 4. Si $g$ ne s'annule pas  $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
 
-5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x)\cdot f'(x)$.
+5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)$.
 
 Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
 régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons
 
 6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
 
-#### Définition (Dérivée seconde) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Dérivée seconde) #
 
 Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
 appelée la dérivée seconde de $f$.
 
+---
+
 ### Variation des fonctions
 
-#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
+---
+
+Propriétés (Croissance/décroissance) #
 
 Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
 
@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
 
 3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
 
-#### Définition (Maximum/minimum local) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Maximum/minimum local) #
 
 Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
 un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
 (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
 
-#### Propriété (Maximum/minimum) {-}
+---
+
+---
+
+Propriété (Maximum/minimum) #
 
 Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
 admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
 $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
 maximum ou un minimum de $f$.
 
+---
+
 ## Etude de fonction
 
 Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
@@ -338,3 +401,4 @@ $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
     extremum, etc).
 
 6. Faire un croquis de $f(x)$.
+

02_optimisation.md

@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
 
 ---
 
-#### Exemple {-}
+Illustration #
 
 Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
 $$
@@ -55,7 +55,7 @@ On peut la représenter comme sur la @fig:e_a et on constate qu'elle possède un
 
 ![La fonction $E(a)=14a^2-4.2a+0.35$ pour $a\in[-1,1]$. On voit bien qu'elle possède un minimum proche de $a=0$.](figs/e_a.svg){#fig:e_a width=70%}
 
-En résolvant $E'(a)=0$, on obtient $a=4.2/24=0.15$. On a que l'équation de la droite passant par $(0,0)$ et au plus proche de nos 4 points est
+En résolvant $E'(a)=0$, on obtient $a=4.2/28=0.15$. On a que l'équation de la droite passant par $(0,0)$ et au plus proche de nos 4 points est
 $$
 y(x)=0.15\cdot x.
 $$
@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
 
 ---
 
-#### Exercice (Racine de polynôme) {-}
+Exercice (Racine de polynôme) #
 
 Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
 
@@ -210,7 +210,7 @@ Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (fa
 Une méthode un peu plus avancée est la méthode de la fausse position (voir la @fig:false_position_method). Dans cette méthode qui est relativement similaire à celle de la bissection,
 mais au lieu de diviser l'intervalle en deux parts égales à chaque itération on va choisir les point $c$, comme étant le point
 où la droite reliant $g(a_1)$ et $g(b_1)$ coupe l'axe horizontal (le zéro de la droite entre $g(a_1)$ et $g(b_1)$). Le reste de l'algorithme reste exactement le même.
-On choisit deux points, $a_1$ et $b_1$, où le signe de $f$ est différent, puis ont construit la droite passant par $g(a_1)$ et $g(b_1)$
+On choisit deux points, $a_1$ et $b_1$, où le signe de $g$ est différent, puis ont construit la droite passant par $g(a_1)$ et $g(b_1)$
 $$
 y=\frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1-a_1}(x-a_1) + g(a_1).
 $$
@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Déterminer le zéro positif de la fonction
 $$
@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Déterminer le zéro positif de la fonction
 $$
@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
 
@@ -331,7 +331,7 @@ $$
 
 On peut donc généraliser l'algorithme. En partant d'un point $x_0=a$, on construit la suite
 $$
-x_{i+1}=x_n-\frac{g(x_i)}{g'(x_i)}, \ i\geq 0.
+x_{i+1}=x_i-\frac{g(x_i)}{g'(x_i)}, \ i\geq 0.
 $$
 On s'arrête lorsque le zéro est déterminé avec une précision suffisante, ou que la variation entre deux itérations successives est assez petite. Ce qui revient à choisir un $\varepsilon>0$, tel que
 $$
@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les
 
 ---
 
-#### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-}
+Remarque (non-convergence ou convergence lente) #
 
 Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
 
@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Déterminer le zéro de la fonction
 $$
@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois.
 
@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
 
 ---
 
-#### Exemple (Régression linéaire) {-}
+Illustration (Régression linéaire) #
 
 Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
 la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
 
 ---
 
-#### Exemple (Dérivée partielle) {-}
+Illustration (Dérivée partielle) #
 
 Les dérivée partielles de la fonction
 $$
@@ -468,7 +468,7 @@ $$
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
 $$
@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que 
 $$
@@ -499,7 +499,7 @@ $$
 
 ---
 
-#### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-}
+Illustration (Dérivées partielles deuxièmes) #
 
 Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
 \begin{align}
@@ -549,7 +549,7 @@ $$
 
 ---
 
-#### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-}
+Illustration (Gradient d'une fonction à deux variables) #
 
 Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
 $$
@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
 
 ---
 
-#### Remarque (Généralisation) {-}
+Remarque (Généralisation) #
 
 Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
 
@@ -711,7 +711,7 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
 
 ---
 
-#### Question {-}
+Question #
 
 Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
 
@@ -726,21 +726,22 @@ itérative. Soient donnés un point de départ $\vec x_0$,
 et une fonction objectif $f(\vec x)$, on va approximer
 le zéro itérativement avec une suite $\vec x_1$, $\vec x_2$, ... telle que
 \begin{align}
-\vec x_1&=x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0),\\
-\vec x_2&=x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1),\\
+\vec x_1&=\vec x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0),\\
+\vec x_2&=\vec x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1),\\
 \cdots
-\vec x_{n+1}&=x_n-\lambda\cdot f(\vec x_n),
+\vec x_{n+1}&=\vec x_n-\lambda\cdot f(\vec x_n),
 \end{align}
 où $\lambda\in \real^+$ est un coefficient positif.
 On peut assez facilement se convaincre que si $\lambda$ est suffisamment petit, alors $f(\vec x_{n+1})\leq f(\vec x_n)$ (on ne fait que descendre la pente jusqu'à atteindre un minimum). Une illustration de ce processus
 peut se voir dans la @fig:gradient.
 
 ![Suite d'étapes pour la descente de gradient. En bleu on voit les courbes de niveaux (les courbes où $f(\vec x)$ est constante). Source: Wikipedia
-<https://bit.ly/2Fhvn7p>](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Gradient_descent.svg){#fig:gradient width=70%}
+<https://bit.ly/2Fhvn7p>](figs/Gradient_descent.svg){#fig:gradient 
+width=70%}
 
 ---
 
-#### Exemple (quelques itérations) {-}
+Illustration (quelques itérations) #
 
 Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante
 $$

03_integrales.md

@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
 $n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
 nous donne aussi l'aire sous la fonction.
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
 
 1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
     de $f$.
 
 2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
 
-#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) #
 
 Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
 $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 Dans la formule
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
 $x$ est appelée
@@ -60,15 +68,11 @@ d’intégration.
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégration de Riemann) {-}
+Exemple (Intégration de Riemann) #
 
 Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
 
----
-
----
-
-#### Solution (Intégration de Riemann) {-}
+Solution (Intégration de Riemann) #
 
 Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
 triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
@@ -89,7 +93,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-}
+Exercice (Intégration de Riemann de $x^2$) #
 
 Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
 
@@ -125,25 +129,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
 d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
 du calcul d’une dérivée.
 
-#### Définition (Primitive) {-}
+---
+
+Définition (Primitive) #
 
 Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
 l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
 
+---
+
 Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
 telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
 primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
 constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
 $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
 
-#### Théorème (Unicité) {-}
+---
+
+Théorème (Unicité) #
 
 Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$  il existe une unique
 primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
 
 ---
 
-#### Illustration (Unicité) {-}
+---
+
+Illustration (Unicité) #
 
 Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
 $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
@@ -153,7 +165,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
 
 ---
 
-#### Exercices (Primitives) {-}
+Exercices (Primitives) #
 
 Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
 fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
@@ -186,12 +198,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
 
 5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
 
-#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-}
+---
+
+Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) #
 
 En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
 de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
 
+---
+
 On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
 elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
 écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
@@ -199,7 +215,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
 effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
@@ -215,7 +231,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
 $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit  que $G(x)$
 est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
 
-#### Propriétés {-}
+---
+
+Propriétés #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
 $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
@@ -240,6 +258,8 @@ On a
 
 6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
 
+---
+
 ### Intégrales impropres
 
 Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
@@ -254,12 +274,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégrale impropre) {-}
+Exemple (Intégrale impropre) #
 
 Calculer l’intégrale suivante
 $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
 
-#### Solution (Intégrale impropre) {-}
+Solution (Intégrale impropre) #
 
 Nous pouvons réécrire
 l’intégrale ci-dessus comme
@@ -269,7 +289,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer l’intégrale suivante
 $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
@@ -280,16 +300,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
 $c\in[a,b]$ nous avons
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
 
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
+
+Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$
 
-Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
+---
+
+---
 
-#### Définition (Valeur moyenne) {-}
+Définition (Valeur moyenne) #
 
 Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
 alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
 $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 Méthodes d’intégration
 ----------------------
 
@@ -302,7 +330,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
 chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
 fonctions particulières.
 
-#### Polynômes
+Polynômes
 
 Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
 $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
@@ -312,14 +340,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Intégrer la fonction suivante
 $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
 
 ---
 
-#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration
+Application de la règle de chaîne pour l’intégration
 
 Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
 $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
@@ -327,21 +355,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
 Nous calculons par exemple
 $$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
 
-#### Inverse de la dérivation logarithmique
+Inverse de la dérivation logarithmique
 
 Une primitive de la forme
 $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
 
 ---
 
-#### Exemple {-}
+Exemple #
 
 Calculer la primitive suivante
 $$
 \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
 $$
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 Le calcul de la primitive de suivante
 $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
@@ -354,12 +382,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
 de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
 $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
 
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
 
 Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
 primitive
 $$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
 
+---
+
 ### Intégration par parties
 
 La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
@@ -384,7 +416,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
 
 ---
 
-#### Exemple  {-}
+Exemple  #
 
 Calculer les primitives suivantes
 
@@ -392,16 +424,16 @@ Calculer les primitives suivantes
 
 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
     $f(x)=e^x$. Il vient
-    $$\int x e^x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.$$
+    $$\int x e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.$$
 
 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et
     donc $g'(x)=-\sin(x)$, $f(x)=-\cos(x)$. Il vient $$\begin{aligned}
         &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x\nonumber\\
-        \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
+        \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c.
       \end{aligned}$$ 
 
 On voit que le résultat de l’intégration par
@@ -415,11 +447,11 @@ parties.
 
 ---
 
-#### Exemple  {-}
+Exemple  #
 
 Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. 
 
-#### Solution  {-}
+Solution  #
 
 En posant $g(x)=x^2$,
 $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
@@ -432,7 +464,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les primitives suivantes
 
@@ -453,7 +485,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
  \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
 Cette relation nous mène au théorème suivant.
 
-#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-}
+---
+
+Théorème (Intégration par changement de variables) #
 
 Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
 la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
@@ -461,6 +495,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
 Alors
 $$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
 
+---
+
 Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
 la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
 ${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
@@ -473,11 +509,11 @@ sur la solution.
 
 ---
 
-#### Exemple (Changement de variable) {-}
+Exemple (Changement de variable) #
 
 Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
 
-#### Solution (Changement de variable) {-}
+Solution (Changement de variable) #
 
 En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
 Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
@@ -490,7 +526,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 
@@ -521,7 +557,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
 
 ---
 
-#### Exercice (Commutativité) {-}
+Exercice (Commutativité) #
 
 Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
 \begin{equation}
@@ -538,7 +574,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer la convolution du signal $f(t)$
 
@@ -553,7 +589,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
 
 ---
 
-#### Interprétation avec les mains
+Interprétation avec les mains
 
 Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
 intégrale vaut $1$
@@ -584,7 +620,23 @@ La convolution est donc la moyenne pondérée de $f$ translatée en $a$ et en $b
 
 On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions $f(t)$ et $g(t)$ comme la moyenne de $f(t)$ pondérée par la fonction $g(t)$.
 
-#### Le lien avec les filtres
+---
+
+Exercice (Convolution) #
+
+Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
+
+\begin{align}
+f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
+                -1, & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
+                0, & \mbox{ sinon.}
+               \end{array}\right.,\\
+g(x)&=\sin(x).
+\end{align}
+
+---
+
+Le lien avec les filtres
 
 Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
 est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
@@ -597,9 +649,6 @@ noté $f(s)$, n'est autre que la convolution de $h(t)$ avec $s(t)$
 f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
 \end{equation}
 
-<!-- ### La convolution discrète
-
-En se rappelant que l'intégrale n'est rien d'autre qu'une somme un peu plus compliquée -->
 
 Intégration numérique
 ---------------------
@@ -629,7 +678,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
 exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
@@ -639,7 +688,7 @@ de l’erreur.
 
 ---
 
-#### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
+Définition (Ordre d'une méthode) #
 
 On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
 par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
@@ -741,3 +790,4 @@ Il vient donc que $$\begin{aligned}
 
 Cette méthode permet d’évaluer exactement les intégrales des polynômes d’ordre 3,
 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
+

04_edo.md

@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
 Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
 $$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
 
 La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
 revient à calculer $$\begin{aligned}
  \int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
  x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
 
+---
+
 ### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
 
 Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
 Finalement la solution est donnée par
 $$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
 
 La solution du problème différentiel peut également se calculer de
 la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned}
  \int \int x''=\int \int a,\\
  x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
 
+---
+
 ### Évolution d’une population
 
 Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
 Définitions et théorèmes principaux
 -----------------------------------
 
-#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-}
+---
+
+Définition (Équation différentielle ordinaire) #
 
 Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
 variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$.
 
 ---
 
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
 
 L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
 $$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle.
 Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
 définitions suivantes
 
-#### Définition (Ordre)  {-}
+---
+
+Définition (Ordre)  #
 
 L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
 dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
 $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
 
-#### Illustration {-}
+---
+
+---
+
+Illustration #
 
 L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
 $$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
 
-#### Définition (Condition initiale) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Condition initiale) #
 
 Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
 un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
 pour une valeur $x_0$ donnée on a
 $$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
 
+---
+
 Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
 différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
 pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter
 
 ---
 
-#### Théorème (Existence et unicité) {-}
+Théorème (Existence et unicité) #
 
 Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
 $y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
 
 ---
 
-#### Définition (Linéarité) {-}
+Définition (Linéarité) #
 
 Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
 on peut l’écrire sous la forme
@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
 
 2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
 
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
 
 L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$ 
 L’équation
 suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
 
-#### Définition (Homogénéité) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Homogénéité) #
 
 Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
 dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
 une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
 
-#### Illustration (Homogénéité) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Homogénéité) #
 
 Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
   &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice (Homogénéité) {-}
+---
+
+Exercice (Homogénéité) #
 
 Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires 
 donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre.
 
 ---
 
-#### Définition (Équations à variable séparables) {-}
+Définition (Équations à variable séparables) #
 
 On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
 séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
 
 ---
 
-#### Illustration {-}
+Illustration #
 
 L’équation suivante est à variables séparables
 $$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
 
 ---
 
-#### Exemple {-}
+Exemple #
 
 Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$ 
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 En
 écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
 
@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
 inhomogène est
 $$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
 
-#### Exemple {-}
+---
+
+Exemple #
 
 Résoudre l’équation suivante
 $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom} 
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 On
 commence par résoudre l’équation homogène
@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra
 où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
 $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
 
+---
+
 Résoudre les équations différentielles suivantes
 
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
 
 1. $$y'+2y=t^2$$
 
 2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
 
+---
+
 ### Équations de Bernoulli
 
 Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin.
 
 ---
 
-#### Exemple {-}
+Exemple #
 
 Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ 
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 Avec
 la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre.
 
 --
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
 Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle.
 
 ---
 
-#### Propriétés {-}
+Propriétés #
 
 Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
 
@@ -912,3 +956,4 @@ considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
 force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les
 détails de la dérivation du schéma on a
 $$x(t_{n+1})=(2-\delta t\zeta)x(t_n)-(1-\delta t\zeta)x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)).$$
+

05_fourier.md

@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
 (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
 &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
 
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
 
 Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
 
+---
+
 Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
 nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
 deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Démontrer ces trois relations.
 
@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Démontrer ces relations.
 
@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
 à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
 sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes)  principalement.
 
-#### Définition {-}
+---
+
+Définition #
 
 On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
 appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations 
@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes
     3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
         $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
 
+---
+
+---
 
-#### Exemple (Espaces vectoriels) {-}
+Illustration (Espaces vectoriels) #
 
 1. L’espace nul, $v=0$.
 
@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes
        &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
       \end{aligned}$$
 
+---
+
 ### Base
 
 Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
 
 ---
 
-#### Illustration  (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-}
+Illustration  (Exemples de bases d'espaces vectoriels) #
 
 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
     les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
 mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
 vectoriel sur $E$.
 
-#### Définition (Famille libre) {-}
+---
+
+Définition (Famille libre) #
 
 Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
 $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
 $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
 
-#### Exemple (Famille libre) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Famille libre) #
 
 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
 
@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
     relie les deux. La relation est non-linéaire
     $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
 
-#### Définition (Famille génératrice) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Famille génératrice) #
 
 On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
 génératrice si
@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
 En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
 linéaire des vecteur $e_i$.
 
-#### Illustration (Familles génératrices) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Familles génératrices) #
 
 1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
     peut pas représenter  les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
     ${\real}^2$.
 
-#### Définition (Base) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Base) #
 
 Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
 famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
@@ -386,7 +415,11 @@ est unique
 $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
 Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
 
-#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Base de $\real ^2$) #
 
 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
 
@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
     coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
     $\beta=(1,1,-1)$.
 
+---
+
 ## Introduction générale sur les séries de Fourier
 
 Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
 
@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
 
@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
 
 La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
 
-#### Propriété {-}
+---
+
+Propriété #
 
 1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
     transformée de Fourier est donnée par
@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
     paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
     (impaire).
 
+---
+
 La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
 ------------------------------------------------
 
@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
      &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
      &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
 
+---
 
-#### Exercice  {-}
+Exercice  #
 
 Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
 temps discret des fonctions suivantes
@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes
                     0,&\mbox{ sinon.}
                    \end{array}\right.$$
 
+---
+
 Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
 infinie de points par une fonction continue et périodique.
 
@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 A démontrer en exercice.
 
@@ -965,3 +1007,4 @@ permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la
 fréquence d’échantillonnage est plus petite que la fréquence de Nyquist
 de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de
 spectre* (aliasing en anglais).
+

06_probas_stats.md

@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
 
 ---
 
-#### Illustration {-}
+Illustration #
 
 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
     entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
 Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
 la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
 
-![Nombre salariés en fonction du
-salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
+![Nombre salariés en fonction du salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
 
 ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
 Fig. @fig:exec).
 
-![Nombre d’exécutions en fonction du temps
-d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
+![Nombre d’exécutions en fonction du temps d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
 
 ### Fréquences
 
@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
 
 ---
 
-#### Exemple (Fréquences) {-}
+Illustration (Fréquences) #
 
 Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
 
@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
 
 ---
 
-#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
+Propriété (Propriétés de la fréquence) #
 
 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
     $$0\leq f_i\leq 1.$$
@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
 
   : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
 
-#### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
+---
+
+Exercice (Fréquence cumulée) #
 
 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
     que nous avons vus.
@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
 2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
     valeur maximale)?
 
+---
+
 ### Mesures de tendance centrale
 
 Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
+Exercice (Propriétés de la moyenne) #
 
 1. Démontrer la relation précédente.
 
@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
 
 ---
 
-#### Illustration (Moyenne) {-}
+Illustration (Moyenne) #
 
 Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
 $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
 Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
 reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
 
-#### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
+---
+
+Exercice (Moyenne, médiane) #
 
 Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
 (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
 d’exécution[^7]).
 
+---
+
 ### Mesures de dispersion
 
 Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
 
 Démontrer les relations suivantes
 
@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
 
 Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
 de l’application.
@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
 
 ---
 
-#### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
+Exercice (Semi-inter quartile) #
 
 Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
 avons vus plus tôt dans le cours.
@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
 
 ---
 
-#### Définition {-}
+Définition #
 
 - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
     $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
 
 ---
 
-#### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
+Définition (Axiomes des probabilités) #
 
 Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
 réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
 
 ---
 
-#### Théorème {-}
+Théorème #
 
 Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
 
@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
+Exercice (Probabilités conditionnelles) #
 
 Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
 
 ---
 
-#### Exercice (Événements indépendants)  {-}
+Exercice (Événements indépendants)  #
 
 On jette une pièce de monnaie deux fois de
 suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
 réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
 @fig:arbre).
 
-![Représentation du tirage $26$ sous forme
-d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
+![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
 
 Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
 équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
 élémentaires
 $$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
 
-![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités
-associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
+![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
 
 Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
 chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
 simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
 @fig:arbre3).
 
-![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme
-d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
-tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
-simplifier
-l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
+![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
 
 Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
 somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
     nombres tirés par deux dés.
@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
 
@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
 remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
 la @fig:loto.
 
-![Les six numéros présents initialement dans le
-sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
+![Les six numéros présents initialement dans le sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
 
 Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
 @fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
 $\frac{1}{6}$.
 
-![Le numéro 2 est tiré lors du premier
-tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
+![Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
 
 Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
 lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
 @fig:loto3).
 
-![Il ne reste que 5 chiffres dans le
-sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
+![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
 
 Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
 nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
 @fig:loto4).
 
-![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le
-5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
+![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
 
 Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
 ainsi de suite.
@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
     possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
 
 ---
 
-#### Définition (Variable aléatoire) {-}
+Définition (Variable aléatoire) #
 
 On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
 *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
 
 ---
 
-#### Définition (Fonction de répartition) {-}
+Définition (Fonction de répartition) #
 
 On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
 *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
@@ -1289,3 +1285,4 @@ mais bien en dehors du champs de ce cours...
 
 Il existe beaucoup d’autres possibilités (il y a des recommandations
 sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
+

07_remerciements.md

@@ -4,4 +4,5 @@ Remerciements
 Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
 qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
 continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
-Borel, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
+Borel, Cirilli, El Kharroubi, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino, N'Hairi, Perret, Pin, Rod, Seemüller, Sousa, et Sutter. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
+

08_notes.md

@@ -25,4 +25,4 @@
     boule blanche ($p(B)=1/3$) n’est pas donnné par
     $p(A)=\mbox{nombre d'éléments dans }A/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$,
     $p(B)=\mbox{nombre d'éléments dans }B/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$.
-[^10]: Leur valeur est un peu arbitraire, souvent $\delta x=0.01$ et $k=2$.
\ No newline at end of file
+[^10]: Leur valeur est un peu arbitraire, souvent $\delta x=0.01$ et $k=2$.

Makefile

-STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
-	css/pandoc.css \
-	css/pandoc-solarized.css \
-	css/tufte-extra.css
-
 OPTIONS = --toc
+OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
 OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
 
 PDFOPTIONS = --highlight-style kate
@@ -17,17 +13,32 @@ HTMLOPTIONS += -c css/tufte-css/tufte.css
 HTMLOPTIONS += --self-contained
 HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
 
+CLASS_SOURCES := $(sort $(filter-out README.md, $(wildcard *.md)))
+SOURCES := $(filter-out 00_macros.md, $(CLASS_SOURCES))
+SOURCES := $(filter-out 08_notes.md, $(SOURCES))
+
 all:  cours.pdf cours.html
 
 # %.tex: %.md
-# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $< --metadata-file metadata.yaml
 
-cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
+cours.pdf: $(CLASS_SOURCES)
 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
+cours.html: $(CLASS_SOURCES)
 	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
+MARKDOWN := $(patsubst %.md, %.markdown, $(SOURCES))
+
+hakyll_gen: $(MARKDOWN)
+
+$(MARKDOWN): %.markdown: 00_macros.md %.md 08_notes.md
+	$(file >$@,---)
+	$(file >>$@,date: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- $(word 2,$^) | head -n 1))
+	$(file >>$@,mathjax: on)
+	$(file >>$@,---)
+	cat $^ >> $@
+
 deploy: all
 	mkdir -p mti
 	cp cours.html mti/index.html
@@ -46,4 +57,4 @@ deploy: all
 	cp travaux_pratiques/tpOptimisation/tpOptimisation.html mti/tpOptimisation/index.html
 
 clean:
-	rm -rf *.html *.pdf
+	rm -rf mti *.markdown *.html *.pdf

exercices/fourier_serie1.md

@@ -52,13 +52,13 @@ Corrigé +.#
 
 On calcule les coefficients de la série de Fourier à l'aide des formules
 \begin{align}
-b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
-a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,
+a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
+b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,
 \end{align}
 où $T=2\pi$. On peut donc écrire
 \begin{align}
-b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
-a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x.
+a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
+b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x.
 \end{align}
 Comme $f(x)$ est paire, on a que les coefficients $a_j$ sont tous nuls. 
 Il nous reste à calculer 
@@ -74,7 +74,7 @@ Ces deux intégrales se résolvent par partie. Pour la partie $(1)$, on obtient
 &=\left.\frac{2}{\pi j^2}\cos(jx)\right|_{-\pi}^0,\nonumber\\
 &=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right).
 \end{align}
-De même pour la partier (2), on trouve
+De même pour la partie (2), on trouve
 $$
 (2)=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right).
 $$
@@ -109,7 +109,7 @@ Exercice +.#
 
 Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 \begin{equation}
-f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
+f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
 \end{equation}
 
 Corrigé +.#
@@ -130,7 +130,7 @@ Exercice +.#
 
 Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
 \begin{equation}
-f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi).
+f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
 \end{equation}
 
 Corrigé +.#
@@ -216,7 +216,7 @@ Corrigé +.#
 
 En utilisant la formule 
 $$
-f[n]=\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[n]e^{2\pi ink/N},
+f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[k]e^{2\pi ink/N},
 $$
 on peut calculer la TFD de $\hat f=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$ avec $N=4$.
 On obtient donc
@@ -225,7 +225,8 @@ f[0]=\hat f[0]+\hat f[1]+\hat f[2]+\hat f[3]=0.
 $$
 Et ainsi de suite on obtient
 \begin{align}
-f[1]&=\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2}=2+i(-1-i)+(-i)(-1+i)=4,\\
-\hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i}=2+(-1)(-1-i)-1(-1+i)=4,\\
-\hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2}=2-i(-1-i)+i(-1+i)=0.
-\end{align}
\ No newline at end of file
+f[1]&=\frac{1}{4}(\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat 
+    f[3]e^{3\pi i/2})=\frac{1}{4}(2+i(-1-i)+(-i)(-1+i))=1,\\
+\hat f[2]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i})=\frac{1}{4}(2+(-1)(-1-i)-1(-1+i))=1,\\
+\hat f[3]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2})=\frac{1}{4}(2-i(-1-i)+i(-1+i))=0.
+\end{align}

metadata.yaml

 ---
 author:
-- Orestis Malaspinas
-title: Mathématiques en technologie de l'Information
+- "Orestis Malaspinas"
+title: "Mathématiques en technologie de l'Information"
 autoSectionLabels: false
 autoEqnLabels: true
 eqnPrefix:

scripts/gradients.m

@@ -7,7 +7,9 @@ tx = ty = linspace (-2, 2, 21)';
 tz = xx.^2 + 4*yy.^3-12*yy-2;
 
 surf(tx, ty, tz)
-
+xlabel("x")
+ylabel("y")
+zlabel("f(x,y)")
 hold on
 
 % [x, y] = meshgrid (-2:0.2:2);

travaux_pratiques/tpChaos/Makefile

+CC=gcc
+CFLAGS=-Wall -Wextra -pedantic -std=c11 -g -O3
+# -fsanitize=leak -fsanitize=undefined  -fsanitize=address
+LFLAGS=-lSDL2
+TARGET=map
+
+all: map
+
+map: map.c gfx.c
+	$(CC) $(CFLAGS) $^ -o $@ $(LFLAGS)
+
+clean:
+	rm -f *.o $(TARGET)